第六章 经典力学
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英国人把力学当做实验科学来讲授；在大陆，力学总是或多或少地被作为演绎的和先验的科学来讲述。不言而喻，英国人是正确的；可是，其他方法为何能够坚持得如此长久呢？为什么大陆学者企图摆脱他们的前辈的惯例，可是总是不能完全获得自由呢？
另一方面，假使力学原理只是起源于实验，那么它们因此只不过是近似的和暂定的吗？在某一天不会有新实验导致我们修正甚或抛弃它们吗？
这是很自然地强加在它们之上的疑问，解答的困难主要出自下述事实：有关力学的专著没有明确区分什么是实验、什么是数学推理、什么是约定、什么是假设。
这并非问题的全部：
1°没有绝对空间，我们能够设想的只是相对运动；可是通常阐明力学事实时，仿佛绝对空间存在一样，而把力学事实归诸于绝对空间。
2°没有绝对时间；说两个持续时间相等是一种独自毫无意义的主张，只有通过约定才能获得意义。
3°不仅我们对两个持续时间相等没有直接的直觉，而且我们甚至对发生在不同地点的两个事件的同时性也没有直接的直觉：我在“时间的测量” [1] 一文中已说明了这一点。
4°最后，我们的欧几里得几何学本身只不过是一种语言的约定；力学事实是可以根据非欧几里得空间阐述的，非欧几里得空间虽说是一种不怎么方便的向导，但它却像我们通常的空间一样合理；阐述因而变得相当复杂，但是它依然是可能的。
于是，绝对空间、绝对时间、几何学本身并不是强加在力学上的条件；就像法语在逻辑上并不先于人们用法语表述的真理一样，所有这一切东西也不先于力学。
我们可能试图用与所有这些约定无关的语言来阐述力学的基本定律；于是，我们无疑会更清楚这些定律本身是什么；这是昂德拉德（Andrade）先生在他的《力学物理学教程》中试图去做的东西，至少是部分地试图去做的东西。
这些定律的阐述当然变得相当复杂，因为正是为了节略和简化这一阐述，人们才特意发明了这一切约定。
至于我，除了涉及绝对空间外，我将把这一切困难置之脑后；并不是我没有意识到它们，绝非如此；要知道，我在本书的头两编已充分地考察了它们。
因此，我将暂且承认绝对空间和欧几里得几何学。
惯性原理。不受力作用的物体只能做匀速直线运动。
这是先验地强加在心智上的真理吗？假若如此，希腊人为何没有认出它呢？他们怎么会相信，当产生运动的原因中止，运动也就停止呢？或者，他们怎么会相信，每一物体若无阻碍，将做最高贵的圆周运动呢？
如果人们说，物体的速度不能改变，只要没有使它改变的理由，那么人们难道不能同样地坚持这个物体的位置不能改变或它的轨道曲率不能改变，只要没有外部原因参与变更它们吗？
惯性原理不是先验的真理，它因而是实验事实吗？但是，任何人在任何时候实验过不受每一个力作用的物体吗？即使如此，又如何知道这些物体不受力的作用呢？通常引用的例子是球能在大理石板上滚动很长时间；可是，我们为什么说它没有受到力的作用呢？这是因为它远离所有其他物体，从而经受不到来自它们的可感觉的作用吗？可是，如果把它无约束地抛到空中，它也没有远离地球；每一个人都知道，在这种情况下，它经受了归因于地球引力的重力的影响。
力学教师通常很快地讲完球的例子；但他们附加说，惯性原理间接地被它的结果证实（verification）了。他们没有正确地表示它们；他们显然意味着，证实比较普遍的原理的各种推论是可能的，惯性原理只不过是其中的一个特例而已。
对于这个普遍原理，我将提出下述阐述：
物体的加速度仅取决于这个物体和邻近物体的位置以及它们的速度。
数学家会说，宇宙中一切物质分子的运动都取决于二阶微分方程。
这实验上是惯性定律的自然推广，为了使之更加清楚，我要请求你容许我作一点虚构。正如我上面说过的，惯性定律并非先验地强加于我们；其他定律同样可以完全与充足理由律相容。假如物体不受力的作用，那么与其假定它的速度不变，倒不如假定它的位置不变，要不然就假定它的加速度不变。
好了，让我们暂时设想，这两个假设的定律之一是自然定律，它代替了我们的惯性定律。什么可以是它的自然概括呢？稍加思索就会使我们明白。
在第一种情况下，我们必须假定，物体的速度仅仅取决于它的位置和邻近物体的位置；在第二种情况下，我们必须假定，物体加速度的变化仅仅取决于这个物体的位置和邻近物体的位置，以及它们的速度和加速度。
或者，用数学语言来说，运动微分方程在第一种情况下是一阶的，而在第二种情况下是三阶的。
让我们稍微修改一下我们的虚构。设有一个类似于我们太阳系的世界，但是由于奇怪的机遇，在那里所有行星的轨道没有离心率和倾角。进而假定这些行星的质量太小，以致它们的相互摄动难以觉察到。居住在这些行星之一上的天文学家不能不得出结论说，恒星的轨道只能是圆的，且平行于某一平面；于是，恒星在给定时刻的位置便足以确定它的速度和它的整个路程。他们可能采纳的惯性定律也许是我已经提到的两个假设的定律中的第一个。
现在，设想在某一天来自遥远星座的一个大质量天体以高速通过这个系统。所有的轨道都被大大地扰乱了。我们的天文学家还不会十分惊讶；他们会十分明确地推测，这个新星乃是唯一受到责备的祸首。他们也许说：“不过，当新星远离之后，秩序将自然地得以重建；无疑地，行星到太阳的距离将不会回复到它们在灾变前的状态，但是当扰乱的星球远离时，轨道将再次变成圆的。”
也许只有当扰乱的天体远离之后，当轨道不再变为圆形，而变成椭圆形时，这些天文学家才会逐渐意识到他们的错误和改造整个力学的必要性。
我已经详细地讲述了这些假设，因为在我看来，人们似乎只有把被概括的惯性定律与相反的假设相对照，才能清楚地理解该定律实际上是什么。
好了，现在这个被概括的惯性定律用实验证实了吗，或者它能够被证实吗？当牛顿写《原理》一书时，他完全以为这个真理是通过实验获得的和证明的真理。在他看来之所以如此，不仅是由于我将要进一步谈及的拟人说的影响，而且也受到伽利略（Galileo）工作的影响。甚至从开普勒（Kepler）定律本身起就是这样了；事实上，按照这些定律，行星的路线完全由它的初始位置和初始速度决定；这恰恰是我们概括的惯性定律所要求的东西。
由于这个原理只是表面上是真实的，由于人们有理由担心在某一天它被我刚才与之对照的类似的一个原理代替，我们必定会被某种令人惊异的机遇引入歧途，就像在上面提出的虚构中，我们设想的天文学家导致出错误一样。
这样的假设太靠不住了，不值得在此停留下去。没有一个人相信这样的巧合能够发生；毫无疑问，两个离心率的概率正好在观察误差范围内是零，例如，它与在观察误差范围内一个概率恰恰等于0.1，另一个概率恰恰等于0.2简直是一样的。一个简单事件的概率并不小于一个复杂事件的概率；可是，如果头一个发生了，我们不会同意把它归因于机遇；我们不会相信，自然界故意欺骗我们。由于抛弃了这类错误的假设，因而可以承认，就天文学而言，我们的定律被实验证实了。
然而，天文学不是物理学的全部。
我们不会害怕在某一天新实验将要在物理学的某些领域内否证该定律吗？实验定律总是要受到修正的；人们总是期望看到用更为精确的定律代替它。
可是，没有一个人认真地认为我们正在谈论的定律将永远被抛弃或被修正。为什么？恰恰是因为它永远不能受到决定性的检验。
首先，为了这个试验是完备的，必须在某一时间之后，宇宙中的所有天体应该回复到它们的初始位置以及初始速度。接着，就可以看到，从这一时刻开始，它们是否返回到它们的原始路线。
但是，这种检验是不可能的，它只能部分地使用，而且不管做得多么好，将总是有一些天体不能回复到它们的初始位置；从而，对于该定律的每一次背离都容易找到它的说明。
这并非一切；我们在天文学中看到我们研究其运动的天体，我们通常假定它们不受其他不可见天体的作用。在这些条件下，我们的定律的确或者必须被证实，或者不必被证实。
不过，在物理学中情况并不一样；如果物理现象都是由于运动，那就是我们看不见的分子的运动。其次，在我们看来，如果我们看得见的物体之一的加速度，除了依赖于其他可见的物体或者我们预先可以承认其存在的不可见的分子的位置或速度外，似乎还依赖于另外的东西，那么就没有什么妨碍我们假定，这种另外的东西就是我们以前未曾怀疑其存在的其他分子的位置或速度。该定律本身将依然得到保护。
请容许我使用数学语言以另一种形式描述一下同一思想。假定我们观察n个分子，并查明它们的3n个坐标满足3n个四阶（不像惯性定律所要求的二阶）微分方程组。我们知道，通过引入3n个辅助变量，3n个四阶方程组能够被简化为6n个二阶方程组。其次，如果我们假定这3n个辅助变量代表n个不可见分子的坐标，那么结果就重新与惯性定律一致。
总而言之，这个在某些特殊个例下用实验证实的定律，可以毫不犹豫地推广到最普遍的个例中去，因为我们知道，在这些普遍的个例中，实验既不能够进一步证实它，也不能够反驳它。
加速度定律。一个物体的加速度等于作用在它上面的力除以它的质量。这个定律能够用实验证实吗？为此，就必须测量在这个阐述中要计算的三个量：加速度、力和质量。
我假定能够测量加速度，因为我把在时间测量中产生的困难抛开了。可是，怎样测量力或质量呢？我甚至不知道它们是什么。
什么是质量呢？按照牛顿的观点，质量是体积与密度之积。按照汤姆孙（Thomson）和泰特（Tait）的观点，最好说密度是质量除以体积之商。什么是力呢？拉格朗日（Lagrange）回答说，力是使物体运动或企图使物体运动的东西。基尔霍夫（Kirchhoff）则说，力是质量与加速度之积。但是，为什么不说质量是力除以加速度之商呢？
这些困难是无法解决的。
当我们说力是运动的原因时，我们是在谈论形而上学，人们若满足这个定义，肯定毫无成果。要使一个定义有任何用处，它必须告诉我们如何测量力；而且，这就足够了；它根本没有必要告诉我们力本质上是什么，或者它是运动的原因还是运动的结果。
因此，我们必须首先定义两力之相等。我们什么时候才可以说两力相等呢？我们被告知，只有当它们施于相同的质量，使之产生相同的加速度时，或者当它们彼此直接相反从而出现平衡时。这个定义只不过是赝品而已。我们不能使施加到一个物体上的力脱离而使它依附于另一个物体，犹如不能使机车脱钩而把它挂到另一节车厢上一样。因此，我们不可能知道，施加于一个物体的力，如果把它施加给另一个物体，那么它会使另一个物体产生多大的加速度。我们也不可能知道，如果两个力曾经是直接相反的，当它们现在不直接相反时，它们会怎样作用。
可以说，当我们用测力计测量力时，或者使力与一个重物平衡时，我们正是企图使这个定义具体化。为简单起见，我将假定两个竖直向上的力F和F'分别施加在两个物体C和C'上；我把同一个重物P先挂在物体C上，然后挂到物体C'上；如果在两种情况下出现了平衡，我将得出结论说，两力F和F'彼此相等，因为它们每一个都等于物体P的重量。
但是，我能够确信当我把物体P从第一个物体移到第二个物体时，物体P保持同一重量吗？远非如此；我确信情况截然相反；我知道，重力的强度从一点到另一点是变化的，例如，它在两极比在赤道为强。无疑地，差别是极其微小的，实际上我们可以不考虑它；但是，适当构造的定义应该具有数学严格性；这种严格性却不足。我就重力所说的话显然适用于测力计的弹性力，温度和许多境况都可以使弹性力变化。
问题并未就此而已；我们不能说物体P的重量可以施于物体C且直接与力F平衡。施加于物体C的，是物体P加于物体C上的作用A；一方面，物体P部分地受到它的重力的作用；另一方面，受到物体C施加在P上的反作用R。结果，力F等于力A，因为F与A平衡；根据作用与反作用相等原理，力A等于R；最后，力R等于P的重量，因为R与P平衡。正是从这三个相等中，我们从而推论出F与P的重量相等。
因此，在定义两个力相等时，我们不得不引入作用与反作用相等原理；由于这个原因，这个原理必须不再被认为是实验定律，而是一个定义。
在这里为辨认两个力相等，我们于是具有两个法则：相互平衡的两力相等；作用力与反作用力相等。但是，正如我们在上面看到的，这两个法则是不充分的；我们不得不求助于第三个法则，并且假定某些力，例如物体的重量，在大小和方向上均为常数。但是，正如我已说过的，第三个法则是实验定律；它仅仅是近似真实的；它是一个拙劣的定义。
因此，我们被迫回到基尔霍夫的定义力等于质量乘以加速度。这个“牛顿定律”本身不能认为是实验定律，它现在仅仅是定义而已。但是，这个定义也不充分，因为我们不知道质量是什么。它无疑能使我们计算在不同时刻施加在同一物体上的两个力的关系；但它无法告诉我们施加在两个不同物体上的两个力的关系。
为了完善这个定义，必须重新返回到牛顿第三定律（作用与反作用相等），再次认为它不是实验定律，而是一个定义。两个物体A和B相互作用；A的加速度乘以A的质量等于B施加于A上的作用力；用同样的方式，B的加速度与其质量之积等于A施加于B的反作用力。按照定义，因为作用力等于反作用力，所以A和B的质量与它们的加速度成反比。在这里，我们定义了这两个质量之比，而且证实这个比率是常数的正是实验。
假使只有物体A和B在场，它们不受世界上其余物体的作用，那么这个定义便是十分完好的。可是情况根本不是这样；A的加速度不仅仅是由于B的作用，而且也是由于其他物体C，D，……的作用。为了运用前面的法则，因此必须把A的加速度分解为许多分量，并辨认这些分量中的哪一个是由于B的作用。
如果我们假定C施加于A的作用力简单地加在B施加于A的作用力上，而且改变B施加于A的作用的物体C并不存在，或者改变C施加于A的作用力的物体B并不存在，那么这种分解还是可能的；因此，如果我们假定任何两个物体相互吸引，它们的相互作用沿着它们的连线，而且仅取决于它们相隔的距离；一句话，如果我们假定有心力假设，那么这种分解也是可能的。
你知道，为了决定天体的质量，我们利用完全不同的原理。万有引力定律教导我们，两个物体的引力与它们的质量成正比；若r是它们之间的距离，m和m'是它们的质量，k是常数，是它们的引力将是kmm'/r2。
于是，我们正在测量的不是作为力与加速度之比的质量，而是引力质量；它不是物体的惯性，而是它的引力。
这是间接程序，这个程序的使用在理论上并不是必不可少的。很可能，引力与距离的平方成反比，而不与质量的乘积成正比，它等于f/r2，而不是我们所具有的f = kmm'。
假若如此，我们通过观察天体的相对运动，仍然可以测量这些天体的质量。
可是，我们有权利承认有心力假设吗？这个假设严格正确吗？能肯定它永远不会与实验矛盾吗？谁敢肯定这一点呢？如果我们必须抛弃这个假设，那么如此辛苦建造起来的整个大厦就要崩溃了。
我们不再有权利说A的加速度的分量是由于B的作用。我们无法把它与由于C或另外的物体的作用所产生的加速度区别开来。测量质量的法则变得不能应用了。
作用与反作用相等原理还留下什么东西呢？如果舍弃了有心力假设，这个原理显然应该如下阐述：施加于与所有外部作用隔离的系统中的各物体上的几何合力将为零。或者，换句话说，这个系统重心的运动将是匀速直线运动。
我们似乎有办法定义质量；重心的位置显然取决于质量所具有的值；有必要以这样的方式安排这些值，使重心的运动可以是匀速直线运动；如果牛顿第三定律是真实的，这将总是可能的，一般说来，这只有在一种方式下才可能。
但是，不存在与所有外部作用隔离的系统；宇宙的各个部分都或多或少地受到所有其他部分的作用。重心运动定律只有应用于整个宇宙时才是严格真实的。
但是，为了由此得到质量的值，有必要观察宇宙重心的运动。这个结果的荒谬是显而易见的；我们只知道相对运动；宇宙重心的运动对我们来说依然是永远不可知的。
因此，什么东西也没有留下来，我们的努力毫无成果；我们被迫退到下述定义，这只不过是一个无能为力的声明：质量是为计算方便而引入的系数。
我们能够通过把不同的值赋予所有质量而重建全部力学。这种新力学既不会与经验相矛盾，也不会与动力学的普遍原理（惯性原理、力与质量和加速度成正比、作用和反作用相等以及重心的匀速直线运动、面积原理）相矛盾。
只是这种新力学的方程不怎么简单。让我们清楚地理解一下：不怎么简单的只可能是头些项，这就是经验已经使我们知道的那些项；人们也许可以稍微改变一下质量，而不使完全方程在简单性方面有所得或有所失。
赫兹（Hertz）曾经提出了一个问题：力学原理是否是严格真实的。他说：“在许多物理学家看来，最间接的经验在任何时候都可以改变牢不可破的力学原理中的一切，这是不可思议的；可是，从经验中得来的东西总可以由经验矫正。”由于我们刚才所说的，这些担心似乎是毫无根据的。
对我们来说，动力学原理乍看起来好像是实验的真理；但是，我们不得不把它们作为定义来使用。正是按照定义，力等于质量与加速度之积；于是，这里就有一个今后不受任何进一步的实验影响的原理。同样根据定义，作用等于反作用。
但是，有人会说，这些不可检验的原理完全没有任何意义；实验不能反驳它们；然而，它不能告诉我们任何有用的东西；这样一来，研究动力学有什么用处呢？
这种轻率的定罪未免太不公平了。在自然界中没有任何完全孤立的、完全摆脱一切外部作用的系统；可是，有几乎孤立的系统吗？
如果这样一个系统被观察到了，人们不仅可以研究它的各部分相对于另外部分的相对运动，而且也可以研究它的重心相对于宇宙其他部分的运动。我们接着查明，这个重心的运动是匀速直线运动，这与牛顿第三定律一致。
这是实验的真理，但实验不能使它失效；事实上，比较精确的实验能告诉我们什么呢？它会告诉我们，定律只不过是差不多真实的；可是，我们早已知道了这一事实。
现在我们能够理解，经验为何能作为力学原理的基础，可是从来也不能与它们矛盾。
拟人的力学。有人会说：“基尔霍夫只是遵循倾向于唯名论的数学家的一般趋势行动；作为一个能干的物理学家，也不能使他避免这一点。他想定义力，为此他采用了呈现在眼前的第一个命题；但是我们不需要力的定义：力的观念是原始的、不可还原的、不能定义的；我们都知道它是什么，我们对它有一种直接的直觉。这种直接的直觉来自费力的概念，我们自幼就熟悉这一概念了。”
但是，首要的是，即使这种直接的直觉使我们了解到力本身的真正本性，可它作为力学的基础还是不够的；况且，它也许是完全无用的。重要的是，不在于了解力是什么，而是了解如何测量力。
对于力学家来说，凡是不能告诉我们测量力的都是无用的，例如，这就像热和冷的主观概念对于研究热的物理学家来说无用一样。这种主观概念不能翻译为数，因而它毫无用处；一个科学家的皮肤是热的绝对不良导体，因而他永远不会感到冷，也不会感到热，可是他能够像任何其他人那样读温度计，这就足以使他构造整个热理论。
现在，对我们来说，这种直接的费力概念不能用来测量力；例如，很清楚，我提50公斤重物就会感到比惯于负重的人劳累。
可是，还有比这更多的东西：这种费力的概念没有告诉我们力的真正本性；它本身最终归结为肌肉感觉的记忆，而且人们无法坚持，当太阳吸引地球时，太阳感受到肌肉感觉。
在那里能够探寻的一切只是一种符号，它并不比几何学家所使用的箭号精确和方便，可是正因为这样它才远离实在。
在力学的诞生中，拟人说起了显著的历史作用；也许它有时还将提供一种符号，这对某些心智来说似乎是方便的；不过，它不能作为真正科学的或哲学的特征的基础。
“线学派”。昂德拉德先生在他的《力学物理学教程》中使拟人的力学恢复了生机。为了与基尔霍夫所属的力学学派相对抗，他奇怪地自称线学派。
这个学派企图把一切都还原为“忽略质量的某些物质系统来考虑，设想该系统处于张力状态，能够把相当大的力量传给遥远的物体，这些系统的理想形式是线。”
传递任何力的线在这个力的作用下稍稍伸长；线的方向告诉我们力的方向，其大小由线的伸长来测量。
于是，人们可以想象这样一个实验。物体A系到线上；在线的另一端施加任何一种力，改变力的大小直到线伸长α；记下物体A的加速度；分开A，把物体B系到同一条线上；重新施加同一力或另外的力，改变力的大小直到线再次伸长α；记下物体B的加速度。然后，用A和B重新开始实验，但是使线伸长β。四个观察到的加速度应当成比例。这样一来，我们就对上面所阐述的加速度定律进行了实验证实。
或者，最好使一个物体受到具有相等张力的几个等价线的同时作用，并用实验寻找使物体处于平衡的所有这些线的方向。这样一来，我们就对力的合成法则进行了实验证实。
可是，我们到底做了什么呢？我们定义了这条线经受形变时所受到的力，这是有足够的理由的；我们进而假定，如果把一个物体系到这条线上，那么通过线传递给它的力量等于物体施加在这条线上的作用力；毕竟，我们因之使用了作用与反作用相等原理，可是并没有认为它是实验的真理，而认为它正是力的定义。
这个定义恰如基尔霍夫的定义一样，是约定的，但远非是普遍的。
并非所有的力都是通过线传递的（况且，为了能够比较这些力，它们都必须通过等价的线传递）。即使可以承认地球是用某种不可见的线系到太阳上，那么至少应该同意，我们没有办法测量它的伸长。
因此，我们的定义十有九是错误的；我们不能赋予它以任何意义，于是必须回到基尔霍夫的定义。
那么，为什么要费这个周折呢？你同意，力的某个定义只有在某些特殊个例中才有意义。在这些个例中，你用实验证实，它导致了加速度定律。依据这个实验的力量，你于是把加速度定律作为在所有其他个例中的力的定义。
把加速度定律作为所有个例中的定义，认为上述实验不是这个定律的证实，而是反作用原理的证实，或者是证明了弹性体的形变仅取决于它所受到的力，这不是会更简单一些吗？
你的定义能被接受的条件永远不会完全满足，线永远不会没有质量，线除受到系在它的末端的物体的反作用之外永远不会免受其他力的作用，这都没有考虑在内。
不过，昂德拉德的观念是十分有趣的；即使这些观念不能满足我们的逻辑渴望，但它们却能使我们更好地理解力学基本观念的历史起源。它们提出的见解向我们表明，人类心智本身如何从朴素的拟人说上升到当今的科学概念。
我们在开始时看到一种很特殊的、总之是相当粗糙的实验；在结束时，我们看到极普遍、极精确的定律，我们认为它的可靠性是绝对的。可以说，由于认为它是约定，我们自己才自愿地把这种确定性给予它。
那么，加速度定律、力的合成法则仅仅是任意的约定吗？是的，是约定；要说是任意的，那就不对了；它们能够是约定，即使我们没有看到导致科学创造者采纳它们的实验，尽管它们可能是不完善的，但也足以为它们辩护。我们最好时时留心回想这些约定的实验根源。
* * *
[1] 《形而上学和道德评论》，第Ⅵ卷，第1——13页，1898年1月。（Revue de méta physique et de Morale，t. VI.，pp.1——13，January，1898 .）
英国人把力学当做实验科学来讲授；在大陆，力学总是或多或少地被作为演绎的和先验的科学来讲述。不言而喻，英国人是正确的；可是，其他方法为何能够坚持得如此长久呢？为什么大陆学者企图摆脱他们的前辈的惯例，可是总是不能完全获得自由呢？
另一方面，假使力学原理只是起源于实验，那么它们因此只不过是近似的和暂定的吗？在某一天不会有新实验导致我们修正甚或抛弃它们吗？
这是很自然地强加在它们之上的疑问，解答的困难主要出自下述事实：有关力学的专著没有明确区分什么是实验、什么是数学推理、什么是约定、什么是假设。
这并非问题的全部：
1°没有绝对空间，我们能够设想的只是相对运动；可是通常阐明力学事实时，仿佛绝对空间存在一样，而把力学事实归诸于绝对空间。
2°没有绝对时间；说两个持续时间相等是一种独自毫无意义的主张，只有通过约定才能获得意义。
3°不仅我们对两个持续时间相等没有直接的直觉，而且我们甚至对发生在不同地点的两个事件的同时性也没有直接的直觉：我在“时间的测量” [1] 一文中已说明了这一点。
4°最后，我们的欧几里得几何学本身只不过是一种语言的约定；力学事实是可以根据非欧几里得空间阐述的，非欧几里得空间虽说是一种不怎么方便的向导，但它却像我们通常的空间一样合理；阐述因而变得相当复杂，但是它依然是可能的。
于是，绝对空间、绝对时间、几何学本身并不是强加在力学上的条件；就像法语在逻辑上并不先于人们用法语表述的真理一样，所有这一切东西也不先于力学。
我们可能试图用与所有这些约定无关的语言来阐述力学的基本定律；于是，我们无疑会更清楚这些定律本身是什么；这是昂德拉德（Andrade）先生在他的《力学物理学教程》中试图去做的东西，至少是部分地试图去做的东西。
这些定律的阐述当然变得相当复杂，因为正是为了节略和简化这一阐述，人们才特意发明了这一切约定。
至于我，除了涉及绝对空间外，我将把这一切困难置之脑后；并不是我没有意识到它们，绝非如此；要知道，我在本书的头两编已充分地考察了它们。
因此，我将暂且承认绝对空间和欧几里得几何学。
惯性原理。不受力作用的物体只能做匀速直线运动。
这是先验地强加在心智上的真理吗？假若如此，希腊人为何没有认出它呢？他们怎么会相信，当产生运动的原因中止，运动也就停止呢？或者，他们怎么会相信，每一物体若无阻碍，将做最高贵的圆周运动呢？
如果人们说，物体的速度不能改变，只要没有使它改变的理由，那么人们难道不能同样地坚持这个物体的位置不能改变或它的轨道曲率不能改变，只要没有外部原因参与变更它们吗？
惯性原理不是先验的真理，它因而是实验事实吗？但是，任何人在任何时候实验过不受每一个力作用的物体吗？即使如此，又如何知道这些物体不受力的作用呢？通常引用的例子是球能在大理石板上滚动很长时间；可是，我们为什么说它没有受到力的作用呢？这是因为它远离所有其他物体，从而经受不到来自它们的可感觉的作用吗？可是，如果把它无约束地抛到空中，它也没有远离地球；每一个人都知道，在这种情况下，它经受了归因于地球引力的重力的影响。
力学教师通常很快地讲完球的例子；但他们附加说，惯性原理间接地被它的结果证实（verification）了。他们没有正确地表示它们；他们显然意味着，证实比较普遍的原理的各种推论是可能的，惯性原理只不过是其中的一个特例而已。
对于这个普遍原理，我将提出下述阐述：
物体的加速度仅取决于这个物体和邻近物体的位置以及它们的速度。
数学家会说，宇宙中一切物质分子的运动都取决于二阶微分方程。
这实验上是惯性定律的自然推广，为了使之更加清楚，我要请求你容许我作一点虚构。正如我上面说过的，惯性定律并非先验地强加于我们；其他定律同样可以完全与充足理由律相容。假如物体不受力的作用，那么与其假定它的速度不变，倒不如假定它的位置不变，要不然就假定它的加速度不变。
好了，让我们暂时设想，这两个假设的定律之一是自然定律，它代替了我们的惯性定律。什么可以是它的自然概括呢？稍加思索就会使我们明白。
在第一种情况下，我们必须假定，物体的速度仅仅取决于它的位置和邻近物体的位置；在第二种情况下，我们必须假定，物体加速度的变化仅仅取决于这个物体的位置和邻近物体的位置，以及它们的速度和加速度。
或者，用数学语言来说，运动微分方程在第一种情况下是一阶的，而在第二种情况下是三阶的。
让我们稍微修改一下我们的虚构。设有一个类似于我们太阳系的世界，但是由于奇怪的机遇，在那里所有行星的轨道没有离心率和倾角。进而假定这些行星的质量太小，以致它们的相互摄动难以觉察到。居住在这些行星之一上的天文学家不能不得出结论说，恒星的轨道只能是圆的，且平行于某一平面；于是，恒星在给定时刻的位置便足以确定它的速度和它的整个路程。他们可能采纳的惯性定律也许是我已经提到的两个假设的定律中的第一个。
现在，设想在某一天来自遥远星座的一个大质量天体以高速通过这个系统。所有的轨道都被大大地扰乱了。我们的天文学家还不会十分惊讶；他们会十分明确地推测，这个新星乃是唯一受到责备的祸首。他们也许说：“不过，当新星远离之后，秩序将自然地得以重建；无疑地，行星到太阳的距离将不会回复到它们在灾变前的状态，但是当扰乱的星球远离时，轨道将再次变成圆的。”
也许只有当扰乱的天体远离之后，当轨道不再变为圆形，而变成椭圆形时，这些天文学家才会逐渐意识到他们的错误和改造整个力学的必要性。
我已经详细地讲述了这些假设，因为在我看来，人们似乎只有把被概括的惯性定律与相反的假设相对照，才能清楚地理解该定律实际上是什么。
好了，现在这个被概括的惯性定律用实验证实了吗，或者它能够被证实吗？当牛顿写《原理》一书时，他完全以为这个真理是通过实验获得的和证明的真理。在他看来之所以如此，不仅是由于我将要进一步谈及的拟人说的影响，而且也受到伽利略（Galileo）工作的影响。甚至从开普勒（Kepler）定律本身起就是这样了；事实上，按照这些定律，行星的路线完全由它的初始位置和初始速度决定；这恰恰是我们概括的惯性定律所要求的东西。
由于这个原理只是表面上是真实的，由于人们有理由担心在某一天它被我刚才与之对照的类似的一个原理代替，我们必定会被某种令人惊异的机遇引入歧途，就像在上面提出的虚构中，我们设想的天文学家导致出错误一样。
这样的假设太靠不住了，不值得在此停留下去。没有一个人相信这样的巧合能够发生；毫无疑问，两个离心率的概率正好在观察误差范围内是零，例如，它与在观察误差范围内一个概率恰恰等于0.1，另一个概率恰恰等于0.2简直是一样的。一个简单事件的概率并不小于一个复杂事件的概率；可是，如果头一个发生了，我们不会同意把它归因于机遇；我们不会相信，自然界故意欺骗我们。由于抛弃了这类错误的假设，因而可以承认，就天文学而言，我们的定律被实验证实了。
然而，天文学不是物理学的全部。
我们不会害怕在某一天新实验将要在物理学的某些领域内否证该定律吗？实验定律总是要受到修正的；人们总是期望看到用更为精确的定律代替它。
可是，没有一个人认真地认为我们正在谈论的定律将永远被抛弃或被修正。为什么？恰恰是因为它永远不能受到决定性的检验。
首先，为了这个试验是完备的，必须在某一时间之后，宇宙中的所有天体应该回复到它们的初始位置以及初始速度。接着，就可以看到，从这一时刻开始，它们是否返回到它们的原始路线。
但是，这种检验是不可能的，它只能部分地使用，而且不管做得多么好，将总是有一些天体不能回复到它们的初始位置；从而，对于该定律的每一次背离都容易找到它的说明。
这并非一切；我们在天文学中看到我们研究其运动的天体，我们通常假定它们不受其他不可见天体的作用。在这些条件下，我们的定律的确或者必须被证实，或者不必被证实。
不过，在物理学中情况并不一样；如果物理现象都是由于运动，那就是我们看不见的分子的运动。其次，在我们看来，如果我们看得见的物体之一的加速度，除了依赖于其他可见的物体或者我们预先可以承认其存在的不可见的分子的位置或速度外，似乎还依赖于另外的东西，那么就没有什么妨碍我们假定，这种另外的东西就是我们以前未曾怀疑其存在的其他分子的位置或速度。该定律本身将依然得到保护。
请容许我使用数学语言以另一种形式描述一下同一思想。假定我们观察n个分子，并查明它们的3n个坐标满足3n个四阶（不像惯性定律所要求的二阶）微分方程组。我们知道，通过引入3n个辅助变量，3n个四阶方程组能够被简化为6n个二阶方程组。其次，如果我们假定这3n个辅助变量代表n个不可见分子的坐标，那么结果就重新与惯性定律一致。
总而言之，这个在某些特殊个例下用实验证实的定律，可以毫不犹豫地推广到最普遍的个例中去，因为我们知道，在这些普遍的个例中，实验既不能够进一步证实它，也不能够反驳它。
加速度定律。一个物体的加速度等于作用在它上面的力除以它的质量。这个定律能够用实验证实吗？为此，就必须测量在这个阐述中要计算的三个量：加速度、力和质量。
我假定能够测量加速度，因为我把在时间测量中产生的困难抛开了。可是，怎样测量力或质量呢？我甚至不知道它们是什么。
什么是质量呢？按照牛顿的观点，质量是体积与密度之积。按照汤姆孙（Thomson）和泰特（Tait）的观点，最好说密度是质量除以体积之商。什么是力呢？拉格朗日（Lagrange）回答说，力是使物体运动或企图使物体运动的东西。基尔霍夫（Kirchhoff）则说，力是质量与加速度之积。但是，为什么不说质量是力除以加速度之商呢？
这些困难是无法解决的。
当我们说力是运动的原因时，我们是在谈论形而上学，人们若满足这个定义，肯定毫无成果。要使一个定义有任何用处，它必须告诉我们如何测量力；而且，这就足够了；它根本没有必要告诉我们力本质上是什么，或者它是运动的原因还是运动的结果。
因此，我们必须首先定义两力之相等。我们什么时候才可以说两力相等呢？我们被告知，只有当它们施于相同的质量，使之产生相同的加速度时，或者当它们彼此直接相反从而出现平衡时。这个定义只不过是赝品而已。我们不能使施加到一个物体上的力脱离而使它依附于另一个物体，犹如不能使机车脱钩而把它挂到另一节车厢上一样。因此，我们不可能知道，施加于一个物体的力，如果把它施加给另一个物体，那么它会使另一个物体产生多大的加速度。我们也不可能知道，如果两个力曾经是直接相反的，当它们现在不直接相反时，它们会怎样作用。
可以说，当我们用测力计测量力时，或者使力与一个重物平衡时，我们正是企图使这个定义具体化。为简单起见，我将假定两个竖直向上的力F和F'分别施加在两个物体C和C'上；我把同一个重物P先挂在物体C上，然后挂到物体C'上；如果在两种情况下出现了平衡，我将得出结论说，两力F和F'彼此相等，因为它们每一个都等于物体P的重量。
但是，我能够确信当我把物体P从第一个物体移到第二个物体时，物体P保持同一重量吗？远非如此；我确信情况截然相反；我知道，重力的强度从一点到另一点是变化的，例如，它在两极比在赤道为强。无疑地，差别是极其微小的，实际上我们可以不考虑它；但是，适当构造的定义应该具有数学严格性；这种严格性却不足。我就重力所说的话显然适用于测力计的弹性力，温度和许多境况都可以使弹性力变化。
问题并未就此而已；我们不能说物体P的重量可以施于物体C且直接与力F平衡。施加于物体C的，是物体P加于物体C上的作用A；一方面，物体P部分地受到它的重力的作用；另一方面，受到物体C施加在P上的反作用R。结果，力F等于力A，因为F与A平衡；根据作用与反作用相等原理，力A等于R；最后，力R等于P的重量，因为R与P平衡。正是从这三个相等中，我们从而推论出F与P的重量相等。
因此，在定义两个力相等时，我们不得不引入作用与反作用相等原理；由于这个原因，这个原理必须不再被认为是实验定律，而是一个定义。
在这里为辨认两个力相等，我们于是具有两个法则：相互平衡的两力相等；作用力与反作用力相等。但是，正如我们在上面看到的，这两个法则是不充分的；我们不得不求助于第三个法则，并且假定某些力，例如物体的重量，在大小和方向上均为常数。但是，正如我已说过的，第三个法则是实验定律；它仅仅是近似真实的；它是一个拙劣的定义。
因此，我们被迫回到基尔霍夫的定义力等于质量乘以加速度。这个“牛顿定律”本身不能认为是实验定律，它现在仅仅是定义而已。但是，这个定义也不充分，因为我们不知道质量是什么。它无疑能使我们计算在不同时刻施加在同一物体上的两个力的关系；但它无法告诉我们施加在两个不同物体上的两个力的关系。
为了完善这个定义，必须重新返回到牛顿第三定律（作用与反作用相等），再次认为它不是实验定律，而是一个定义。两个物体A和B相互作用；A的加速度乘以A的质量等于B施加于A上的作用力；用同样的方式，B的加速度与其质量之积等于A施加于B的反作用力。按照定义，因为作用力等于反作用力，所以A和B的质量与它们的加速度成反比。在这里，我们定义了这两个质量之比，而且证实这个比率是常数的正是实验。
假使只有物体A和B在场，它们不受世界上其余物体的作用，那么这个定义便是十分完好的。可是情况根本不是这样；A的加速度不仅仅是由于B的作用，而且也是由于其他物体C，D，……的作用。为了运用前面的法则，因此必须把A的加速度分解为许多分量，并辨认这些分量中的哪一个是由于B的作用。
如果我们假定C施加于A的作用力简单地加在B施加于A的作用力上，而且改变B施加于A的作用的物体C并不存在，或者改变C施加于A的作用力的物体B并不存在，那么这种分解还是可能的；因此，如果我们假定任何两个物体相互吸引，它们的相互作用沿着它们的连线，而且仅取决于它们相隔的距离；一句话，如果我们假定有心力假设，那么这种分解也是可能的。
你知道，为了决定天体的质量，我们利用完全不同的原理。万有引力定律教导我们，两个物体的引力与它们的质量成正比；若r是它们之间的距离，m和m'是它们的质量，k是常数，是它们的引力将是kmm'/r2。
于是，我们正在测量的不是作为力与加速度之比的质量，而是引力质量；它不是物体的惯性，而是它的引力。
这是间接程序，这个程序的使用在理论上并不是必不可少的。很可能，引力与距离的平方成反比，而不与质量的乘积成正比，它等于f/r2，而不是我们所具有的f = kmm'。
假若如此，我们通过观察天体的相对运动，仍然可以测量这些天体的质量。
可是，我们有权利承认有心力假设吗？这个假设严格正确吗？能肯定它永远不会与实验矛盾吗？谁敢肯定这一点呢？如果我们必须抛弃这个假设，那么如此辛苦建造起来的整个大厦就要崩溃了。
我们不再有权利说A的加速度的分量是由于B的作用。我们无法把它与由于C或另外的物体的作用所产生的加速度区别开来。测量质量的法则变得不能应用了。
作用与反作用相等原理还留下什么东西呢？如果舍弃了有心力假设，这个原理显然应该如下阐述：施加于与所有外部作用隔离的系统中的各物体上的几何合力将为零。或者，换句话说，这个系统重心的运动将是匀速直线运动。
我们似乎有办法定义质量；重心的位置显然取决于质量所具有的值；有必要以这样的方式安排这些值，使重心的运动可以是匀速直线运动；如果牛顿第三定律是真实的，这将总是可能的，一般说来，这只有在一种方式下才可能。
但是，不存在与所有外部作用隔离的系统；宇宙的各个部分都或多或少地受到所有其他部分的作用。重心运动定律只有应用于整个宇宙时才是严格真实的。
但是，为了由此得到质量的值，有必要观察宇宙重心的运动。这个结果的荒谬是显而易见的；我们只知道相对运动；宇宙重心的运动对我们来说依然是永远不可知的。
因此，什么东西也没有留下来，我们的努力毫无成果；我们被迫退到下述定义，这只不过是一个无能为力的声明：质量是为计算方便而引入的系数。
我们能够通过把不同的值赋予所有质量而重建全部力学。这种新力学既不会与经验相矛盾，也不会与动力学的普遍原理（惯性原理、力与质量和加速度成正比、作用和反作用相等以及重心的匀速直线运动、面积原理）相矛盾。
只是这种新力学的方程不怎么简单。让我们清楚地理解一下：不怎么简单的只可能是头些项，这就是经验已经使我们知道的那些项；人们也许可以稍微改变一下质量，而不使完全方程在简单性方面有所得或有所失。
赫兹（Hertz）曾经提出了一个问题：力学原理是否是严格真实的。他说：“在许多物理学家看来，最间接的经验在任何时候都可以改变牢不可破的力学原理中的一切，这是不可思议的；可是，从经验中得来的东西总可以由经验矫正。”由于我们刚才所说的，这些担心似乎是毫无根据的。
对我们来说，动力学原理乍看起来好像是实验的真理；但是，我们不得不把它们作为定义来使用。正是按照定义，力等于质量与加速度之积；于是，这里就有一个今后不受任何进一步的实验影响的原理。同样根据定义，作用等于反作用。
但是，有人会说，这些不可检验的原理完全没有任何意义；实验不能反驳它们；然而，它不能告诉我们任何有用的东西；这样一来，研究动力学有什么用处呢？
这种轻率的定罪未免太不公平了。在自然界中没有任何完全孤立的、完全摆脱一切外部作用的系统；可是，有几乎孤立的系统吗？
如果这样一个系统被观察到了，人们不仅可以研究它的各部分相对于另外部分的相对运动，而且也可以研究它的重心相对于宇宙其他部分的运动。我们接着查明，这个重心的运动是匀速直线运动，这与牛顿第三定律一致。
这是实验的真理，但实验不能使它失效；事实上，比较精确的实验能告诉我们什么呢？它会告诉我们，定律只不过是差不多真实的；可是，我们早已知道了这一事实。
现在我们能够理解，经验为何能作为力学原理的基础，可是从来也不能与它们矛盾。
拟人的力学。有人会说：“基尔霍夫只是遵循倾向于唯名论的数学家的一般趋势行动；作为一个能干的物理学家，也不能使他避免这一点。他想定义力，为此他采用了呈现在眼前的第一个命题；但是我们不需要力的定义：力的观念是原始的、不可还原的、不能定义的；我们都知道它是什么，我们对它有一种直接的直觉。这种直接的直觉来自费力的概念，我们自幼就熟悉这一概念了。”
但是，首要的是，即使这种直接的直觉使我们了解到力本身的真正本性，可它作为力学的基础还是不够的；况且，它也许是完全无用的。重要的是，不在于了解力是什么，而是了解如何测量力。
对于力学家来说，凡是不能告诉我们测量力的都是无用的，例如，这就像热和冷的主观概念对于研究热的物理学家来说无用一样。这种主观概念不能翻译为数，因而它毫无用处；一个科学家的皮肤是热的绝对不良导体，因而他永远不会感到冷，也不会感到热，可是他能够像任何其他人那样读温度计，这就足以使他构造整个热理论。
现在，对我们来说，这种直接的费力概念不能用来测量力；例如，很清楚，我提50公斤重物就会感到比惯于负重的人劳累。
可是，还有比这更多的东西：这种费力的概念没有告诉我们力的真正本性；它本身最终归结为肌肉感觉的记忆，而且人们无法坚持，当太阳吸引地球时，太阳感受到肌肉感觉。
在那里能够探寻的一切只是一种符号，它并不比几何学家所使用的箭号精确和方便，可是正因为这样它才远离实在。
在力学的诞生中，拟人说起了显著的历史作用；也许它有时还将提供一种符号，这对某些心智来说似乎是方便的；不过，它不能作为真正科学的或哲学的特征的基础。
“线学派”。昂德拉德先生在他的《力学物理学教程》中使拟人的力学恢复了生机。为了与基尔霍夫所属的力学学派相对抗，他奇怪地自称线学派。
这个学派企图把一切都还原为“忽略质量的某些物质系统来考虑，设想该系统处于张力状态，能够把相当大的力量传给遥远的物体，这些系统的理想形式是线。”
传递任何力的线在这个力的作用下稍稍伸长；线的方向告诉我们力的方向，其大小由线的伸长来测量。
于是，人们可以想象这样一个实验。物体A系到线上；在线的另一端施加任何一种力，改变力的大小直到线伸长α；记下物体A的加速度；分开A，把物体B系到同一条线上；重新施加同一力或另外的力，改变力的大小直到线再次伸长α；记下物体B的加速度。然后，用A和B重新开始实验，但是使线伸长β。四个观察到的加速度应当成比例。这样一来，我们就对上面所阐述的加速度定律进行了实验证实。
或者，最好使一个物体受到具有相等张力的几个等价线的同时作用，并用实验寻找使物体处于平衡的所有这些线的方向。这样一来，我们就对力的合成法则进行了实验证实。
可是，我们到底做了什么呢？我们定义了这条线经受形变时所受到的力，这是有足够的理由的；我们进而假定，如果把一个物体系到这条线上，那么通过线传递给它的力量等于物体施加在这条线上的作用力；毕竟，我们因之使用了作用与反作用相等原理，可是并没有认为它是实验的真理，而认为它正是力的定义。
这个定义恰如基尔霍夫的定义一样，是约定的，但远非是普遍的。
并非所有的力都是通过线传递的（况且，为了能够比较这些力，它们都必须通过等价的线传递）。即使可以承认地球是用某种不可见的线系到太阳上，那么至少应该同意，我们没有办法测量它的伸长。
因此，我们的定义十有九是错误的；我们不能赋予它以任何意义，于是必须回到基尔霍夫的定义。
那么，为什么要费这个周折呢？你同意，力的某个定义只有在某些特殊个例中才有意义。在这些个例中，你用实验证实，它导致了加速度定律。依据这个实验的力量，你于是把加速度定律作为在所有其他个例中的力的定义。
把加速度定律作为所有个例中的定义，认为上述实验不是这个定律的证实，而是反作用原理的证实，或者是证明了弹性体的形变仅取决于它所受到的力，这不是会更简单一些吗？
你的定义能被接受的条件永远不会完全满足，线永远不会没有质量，线除受到系在它的末端的物体的反作用之外永远不会免受其他力的作用，这都没有考虑在内。
不过，昂德拉德的观念是十分有趣的；即使这些观念不能满足我们的逻辑渴望，但它们却能使我们更好地理解力学基本观念的历史起源。它们提出的见解向我们表明，人类心智本身如何从朴素的拟人说上升到当今的科学概念。
我们在开始时看到一种很特殊的、总之是相当粗糙的实验；在结束时，我们看到极普遍、极精确的定律，我们认为它的可靠性是绝对的。可以说，由于认为它是约定，我们自己才自愿地把这种确定性给予它。
那么，加速度定律、力的合成法则仅仅是任意的约定吗？是的，是约定；要说是任意的，那就不对了；它们能够是约定，即使我们没有看到导致科学创造者采纳它们的实验，尽管它们可能是不完善的，但也足以为它们辩护。我们最好时时留心回想这些约定的实验根源。
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[1] 《形而上学和道德评论》，第Ⅵ卷，第1——13页，1898年1月。（Revue de méta physique et de Morale，t. VI.，pp.1——13，January，1898 .）