第一章 数学推理的本性
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Ⅰ
数学科学的可能性本身似乎是一个不可解决的矛盾。如果这门科学只是在外观上看来是演绎的，那么没有人想去怀疑的、完美的严格性从何而来呢？相反地，如果数学所阐明的一切命题能够依据形式逻辑的规则相互演绎，那么它为什么没有变成庞大的同义反复呢？三段论法不能告诉我们本质上新颖的东西，假使每一事物都来自同一律，那么每一事物都必定能归入其中。这样一来，我们难道将要承认，所有那些充斥许多书中的定理的阐明无非是A即A的转弯抹角的说法？
毋庸置疑，我们能够返回到公理，它们处在所有这些推理的源头。如果我们断定这些推理不能划归为矛盾律，如果我们在其中甚至看到了不具有数学必然性的经验事实，那么我们还有把它们列入先验综合判断的对策。这不是解决困难，而只不过是使之洗炼而已；即使综合判断的本性在我们看来并不神秘，然而矛盾还不会消失，它只是后退了；三段论推理依然不能为给予它的材料添加任何东西；这些材料本身划归为几个公理，我们在结论中不会发现其他东西。
无论什么定理，如果没有新公理参与它的证明，它就不会是新的；推理只能借用直接的直觉给我们以即时自明的真理；它恐怕只是中间的寄生物，因此我们难道没有充分的理由去询问，整个三段论工具是否只是有助于掩饰我们的借用？
翻开任何一本数学书，这种矛盾将会给我们以更大的冲击；在每一页上，作者都要阐述他概括一些已知的命题的意图。数学方法是从特殊行进到一般吗？假若如此，为何又能把它称为演绎的呢？
最后，如果数学是纯粹分析的，或者它能够从少数综合判断通过分析导出，那么博大精深的心智似乎一眼就能察觉它的所有真理；不仅如此，我们甚至可以希望，人们总有一天会发明一种足够简单的语言表达它们，使它们在通常的理智看来也是自明的。
如果我们不赞同这些结果，那就必须承认，数学推理本来就有一种创造能力，从而不同于三段论。
该差别甚至必须是深刻的。例如，按照某一法则，用于两个相等的数的同一个一致运算将给出恒等的结果，我们在频繁使用这一法则时找不出其中的奥秘。
所有这些推理方式，不管它们是否可划归为名副其实的三段论，它们依然保持着分析的特征，正因为如此，它们才是软弱无力的。
Ⅱ
这里要讨论的是老问题；莱布尼茨（Leibnitz）企图证明2加2得4；让我们看一下他的证明吧。
我将假定数1已被定义，又假定运算x+1意谓把单位1加在已知数x上。
这些定义不管是什么，它们都没有进入推理过程。
然后我通过等式
（1）1+1＝2； （2）2+1＝3； （3）3+1＝4
定义数2，3和4。
用同样的方式，我通过下述关系定义运算x+2：
（4）x+2＝（x+1）+1。
由于预先假定了这一切，于是我们有
2+1+1=3+1 （定义2），
3+1=4 （定义3），
2+2= （2+1）+1 （定义4），
由此可得 2+2=4 证毕。
不能否认，这个推理是纯粹分析的。可是若问任何一个数学家：“这不是真正的证明（demonstration） ”，他将会对你说：“这是核验（verification） 。”我们仅限于比较两个纯粹约定的定义，并查明它们是恒等的；我们没有学到什么新东西。核验不同于真的证明，正因为它是纯粹分析的，正因为它是毫无结果的。其所以毫无结果，是因为结论不过是翻译成另一种语言的前提。相反地，真的证明是富有成效的，因为这里的结论在某种意义上比前提普遍。
等式2+2=4是如此易受核验，只因为它是特定的。数学中的每一个特定的阐述总是能够以这种相同的方式核验。但是，如果数学能够划归为一系列这样的核验，它就不会是科学了。例如，棋手并没有在赢棋中创立科学。离开普遍性便没有科学。
人们甚至可以说，精密科学的真正目的就在于使我们省却这些直接的核验。
Ⅲ
因此，让我们看看几何学家是如何工作的，并且力图把握他的工作过程。
这项任务并非没有困难；随便翻开一本书，并分析其中的任何证明，这是不够的。
我们首先必须撇开几何学，由于与公设的作用、空间概念的本性和起源有关的问题相当困难，因而几何学中的疑问是错综复杂的。出于类似的理由，我们也不能转向微积分。我们必须寻找其中依然是纯粹的数学思想，也就是说，必须在算术中去寻找。
选择还是必要的；在数论的比较高深的部分，原始数学概念已经经受了如此深刻的提炼，以至于变得难以分析它们。
因此，正是在算术的开头，我们必须期待找到我们寻求的说明，但是恰恰是在最基本的定理的证明中，发生了这样的情况：经典论文的作者表现得最少精确、最少严格。我们不必把这作为一种罪过归咎于他们；他们服从了必要性；初学者没有受到真正的数学严格性的训练；他们在其中只能看到无用的、使人厌烦的微妙；企图使他们过早地变得更为精密，那不过是白费时间；他们必定会迅速地、但却是按部就班地通过的，而科学奠基人却是缓慢地越过这条道路的。
为了逐渐地习惯于这种完全的严格性————它似乎应该自然而然地施加在一切健全的心智之上，为什么要有如此长的必要的准备呢？这是一个逻辑的和心理的问题，完全值得加以研究。
但是，我们不去处理它；它不是我们的目的；我们必须重新证明最基本的定理，为了不使初学者烦恼，我们不是把这些定理留下的粗糙的形式给予他们，而是把训练有素的几何学家满意的形式给予他们。
加法的定义。我假定已经定义了运算x+1，即把数1加到已知数x上。
这个定义不管是什么，都没有进入我们的后继的推理之中。
我们现在要定义运算x+a，就是把数a加到已知数x上。
假定我们定义了运算
x+（a-1），
则运算x+a将用等式 x+a＝［x+（a-1）］+1 （1）
来定义。 只有我们知道x+（a-1）是什么，然后我们才能知道x+a是什么，正如我假定过的，从我们知道x+1是什么开始，我们就能相继地“借助递归”定义运算x+2，x+3等等。
这个定义值得注意一下；它具有一种特殊的性质，这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来；等式（1）包含着无穷个不同的定义，只要人们知道前者，每一个定义都有意义。
加法的特性————结合性。我说
a+（b+c）＝（a+b）+c.
事实上，该定理对c=1而言为真；于是可写出
a+（b+1）＝（a+b）+1，
该式除符号有差别外，无非是我刚才定义加法的（1）式。 假定该定理对c＝γ而言为真，我说它对c＝γ+1亦为真。
事实上，设
（a+b）+γ＝a+（b+γ），
由此可得 ［（a+b）+γ］+1＝［a+（b+γ）］+1.
或者根据定义（1） （a+b）+（γ+1）=a+（b+γ+1）＝a+［b+（γ+1）］，
这表明，通过一连串的纯粹分析的演绎，该定理对γ+1为真。 由于对c=1为真，从而我们相继看到，它对c=2，c=3等也是如此。
交换性。1°我说
a+1＝1+a.
该定理显然对a=1来说为真；我们能够用纯粹分析的推理来核验，若它对a=γ为真，则它对a＝γ+1也为真；于是，
（γ+1）+1＝（1+γ）+1＝1+（γ+1）；
现在该定理对a＝1为真，因而它对a=2，a=3等亦为真，这可用下述说法来表述：所阐述的命题通过递归而证明。 2°我说
a+b＝b+a.
该定理刚才针对b=1已被证明；可以用分析来核验，若它对b＝β为真，则它对b＝β+1亦为真。
因此，该命题通过递归而成立。
乘法的定义。我们将用下述等式来定义乘法：
a×1＝a，（1）
a×b＝［a×（b-1）］+a.（2）
像等式（1）一样，等式（2）包含着无穷个定义；只要定义了a×1，就能使我们相继定义a×2，a×3等等。
乘法的特性————分配性。我说
（a+b）×c＝（a ×c）+（b×c）.
我们用分析核验，该等式对c＝1而言为真；其次，若该定理对c＝γ为真，则它对c＝γ+1亦为真。
因此，该命题通过递归而证明。
交换性。1°我说
a×1＝1×a.
该定理对a＝1而言是显而易见的。
我们用分析验证，若该定理对a=a为真，则它对a=a+1亦为真。
2°我说
a×b＝b×a.
该定理对于b=1而言刚刚证明过了。我们可以用分析核验，若它对b＝β为真，则它对b=β+1亦为真。
Ⅳ
我在这里不再进行这种一连串单调的推理。但是，正是这种单调的东西，更清楚地把一致的、在每一步都要再次遇到的程序显示出来。
这种程序就是递归证明。我们首先针对n=1规定一个定理；然后我们证明，若该定理对n-1为真，则对n也为真，从而得出结论：它对所有的整数都为真。
我们刚才看到，如何可以用递归来证明加法法则和乘法法则，也就是代数计算法则；这种计算是变换的工具，它有助于形成更多的各种不同的组合，远非简单的三段论所能相比；但是，它依然是纯粹分析的工具，不能告诉我们任何新东西。如果数学没有其他工具，它就会因之即刻阻碍自己的发展；但是，它重新求助于同一程序，即求助于递归推理，从而它能够继续前进。
如果我们密切注视一下，我们在每一步都会再次遇到这种推理方式，它或者是以我们刚才给予它的简单形式出现的，或者是以或多或少修正了的形式出现的。
于是，我们在这里有了典型的数学推理，我们必须更为仔细地审查它。
Ⅴ
递归推理的主要特征是，它包括无穷个三段论，可以说它浓缩在单一的公式中。
为了更清楚地看到这一点，我想依次陈述这些三段论，如果你容许我形容一下的话，它们就好像“多级瀑布”一样直泻而下。
这些当然是假设的三段论。
定理对数1为真。
现在，若它对1为真，则它对2亦为真。
故它对2为真。
现在，若它对2为真，则它对3亦为真。
故它对3为真，如此等等。
我们看到，每一个三段论的结论都是下一个三段论的小前提。
而且，我们的所有三段论的大前提都能简化为单一的公式。
若定理对n-1为真，则它对n亦为真。
其次，我们看到，在递归推理中，我们仅限于陈述第一个三段论的小前提和把所有大前提作为特例包括进来的普遍公式。
从而，这一连串永无休止的三段论就简化为几行短语。
正如我上面已经说明的，现在很容易理解一个定理的每一个特定推论都能够用纯粹分析的程度来核验。
如果我们不去证明我们的定理对于所有数为真，例如我们只希望证明它对6这个数为真，那么建立我们的多级瀑布的头五个三段论对我们来说就足够了；如果我们想针对数10证明该定理，那么只需要9个三段论；数越大，需要的三段论也就越多；然而，不管这个数多么大，我们总能达到目的，从而分析核验是可能的。
可是，无论我们走得多么远，我们也无法上升到对于一切数都适用的普遍定理，而唯有普遍的定理，才是科学的目标。欲达此目的，需要无穷个三段论；这就必须跨越只局限于形式逻辑方法的分析家的忍耐力永远也无法填满的深渊。
起初我曾问过，人们为什么不想象出一个神通广大的心智，一眼就洞察到整个数学真理的本质。
现在很容易回答了；棋手能够预料四五步棋，不管他多么非凡，他也只能准备有限步棋；假使他把他的本领用于算术，他也不能凭借单一的直接直觉察觉算术的普遍真理；为了获得最微小的定理，他也不得不借助递归推理，因为这是能使我们从有限通向无限的工具。
这个工具总是有用的，因为它容许我们像我们所希望的那样飞速跨越许多阶梯，它使我们省去冗长的、使人厌烦的和单调的核验，而这种核验会很快地变得不能实施。但是，只要我们以普遍的定理为目的，它就变得必不可少了，而分析的核验虽则可以使我们不断地接近这一目的，却永远无法使我们达到它。
在算术这个领域，我们可以认为我们自己距微积分十分遥远，然而，正如我们刚刚看到的，数学无限的观念已经起着举足轻重的作用，没有它便没有科学，因为在那里没有普遍的东西。
Ⅵ
递归推理所依据的判断能够处于其他形式之下；例如，我们可以说，在不同整数的无限个集合中，总存在着一个比所有其他数都小的数。
我们能够很容易地从一个阐述推到另一个阐述，由此便产生已经证明过递归推理的合法性的幻觉。但是，我们总会受到阻碍，我们总会达到不可证明的公理，而这个公理实际上只不过是有待证明的、翻译成另一种语言的命题罢了。
因此，我们无法摆脱这样一个结论：递归推理的法则不能划归为矛盾律。
对我们来说，这个法则也不能来自经验；经验能够告诉我们，该法则对头十个数或头一百个数为真；例如，它不能到达无限系列的数，而只能到达这个系列的一部分，不管该部分或长或短，但总是有限的。
现在，假若只是那样一个问题，则矛盾律也就足够了；它总会容许我们展开像我们所希望的那么多的三段论；只有在把无限个三段论包括在单一的公式中时，只有在无限面前时，矛盾律才会失效，也就是在那里，经验变得软弱无力。这个法则是分析证明和经验难以得到的，它是先验综合判断的真正类型。另一方面，我们也不能企图在它之内像在几何学的某些公设中那样看见约定。
可是，这种判断为什么以不可遏止之势迫使我们服从呢？那是因为，它只是证实了心智的威力，心智知道，它本身能够想象得出，只要这种行为一次是可能的，同样的行为就可以无限期地重复下去。心智对这种威力有一种直接的直觉，而经验只不过是为利用它、并进而变得意识到它提供机会。
但是，有人会问，如果未加工的经验不能证明递归推理的合法性，那么借助于归纳的实验也是这样吗？我们陆续看到，一个定理对1，2，3等数为真；我们说，这个规律是明显的，它像每一个基于为数很多、但却是有限的观察的物理学定律一样，有着相同的根据。
必须承认，在这里存在着与通常的归纳程序酷似之处。不过，也有本质的差别。用于物理科学中的归纳总是不确定的，因为它建立在宇宙具有普遍秩序的信念上，而这种秩序却是在我们之外的。相反地，数学归纳法即递归证明却必然地强加于我们，因为它只不过是心智本身的特性的确认。
Ⅶ
正如我前面已经说过的，数学家总是力图概括他们所得到的命题，不必另找例子，我刚才已经证明了等式：
a+1＝1+a，
后来利用它建立等式 a+b＝b+a，
该等式显然更为普遍。 因此，像其他科学一样，数学也能够从特殊行进到普遍。
在开始这项研究时，这是一个我们似乎不可理解的事实，但是由于我们弄清了递归证明和普通归纳的类似性，这个事实在我们看来就不再神秘了。
毫无疑问，数学中的递归推理和物理学中的归纳推理建立在不同的基础上，但是它们的步调是相同的，它们在同一方向前进，也就是说，从特殊到普遍。
让我们稍为比较仔细地审查一下这种情况。
为了证明等式
a+2＝2+a，
只要把法则 a+1＝1+a（1）
运用两次就足够了，而且可以写出 a+2＝a+1+1＝1+a+1＝1+1+a＝2+a.（2）
无论如何，用纯粹分析的方法从等式（1）如此演绎出来的等式（2）绝不仅仅是（1）式的特例；它是完全不同的某种东西。
因此，我们甚至不能说：在数学推理的真正分析的和演绎的部分，我们是在该词的通常意义上从普遍行进到特殊。
与等式（1）的两个数相比，等式（2）的两个数只不过是更为复杂的组合而已，分析仅仅用来把进入这些组合中的元素分开并研究它们的关系。
因此，数学家是“通过构造”而工作的，他们“构造”越来越复杂的组合。他们通过分析这些组合，这些集合体，可以说返回到它们的初始元素，他们察觉到这些元素的关系，并从它们推导出集合体本身的关系。
这是纯粹分析的步骤，但是它无论如何不是从普遍到特殊的步骤，因为很明显，不能把集合体视为比它们的元素更特殊。
人们正当地赋予这种“构造”程序以重大的意义，一些人还力图从中发现精密科学进步的必要条件和充分条件。
无疑地，这样做是必要的；但并不是充分的。
要使一种构造物有用而不白费心血，而且可以作为人们希望攀登的阶梯，那么它首先必须具有一种统一性，这种统一性能使我们从中看到某种东西，而不只是看到它的元素本身的并置。
或者，更确切地讲，考虑构造物，而不是考虑它的元素本身，必定有某些好处。
这种好处能够是什么呢？
例如，为什么针对总是可以分解为三角形的多边形推理，而不针对基本的三角形推理呢？
这是因为属于任何边数的多边形的特性可以用于任何特定的多边形。
相反地，通过直接研究基本三角形的关系发现这些特性，结果就要耗费大量的精力。知道了普遍定理便节省了这些精力。
因此，一个构造物要变得有趣，只有当它能够与其他类似的构造物并列，从而形同一个属（genus）的种（species）时。
假如四边形不是两个三角形的并置，这是因为它属于多边形之属。
而且，人们必定能够证明这个属的特性，而不会被迫针对每一个种去相继建立它们。
欲达此目的，我们必须攀登一个或多个阶梯，从特殊上升到普遍。
“通过构造”的分析程序没有迫使我们下降，而是让我们留在同一水平线上。
我们只有借助数学归纳法才能攀登，唯有它能够告诉我们某种新东西。没有在某些方面与物理学归纳法不同的、但却同样有效的数学归纳法的帮助，则构造便无力去创造科学。
最后要注意，只有同样的运算能够无限地重复，这种归纳法才是可能的。这就是为什么国际象棋的理论从来也不能变成科学，因为同一象棋比赛的不同走法彼此并不相似。
Ⅰ
数学科学的可能性本身似乎是一个不可解决的矛盾。如果这门科学只是在外观上看来是演绎的，那么没有人想去怀疑的、完美的严格性从何而来呢？相反地，如果数学所阐明的一切命题能够依据形式逻辑的规则相互演绎，那么它为什么没有变成庞大的同义反复呢？三段论法不能告诉我们本质上新颖的东西，假使每一事物都来自同一律，那么每一事物都必定能归入其中。这样一来，我们难道将要承认，所有那些充斥许多书中的定理的阐明无非是A即A的转弯抹角的说法？
毋庸置疑，我们能够返回到公理，它们处在所有这些推理的源头。如果我们断定这些推理不能划归为矛盾律，如果我们在其中甚至看到了不具有数学必然性的经验事实，那么我们还有把它们列入先验综合判断的对策。这不是解决困难，而只不过是使之洗炼而已；即使综合判断的本性在我们看来并不神秘，然而矛盾还不会消失，它只是后退了；三段论推理依然不能为给予它的材料添加任何东西；这些材料本身划归为几个公理，我们在结论中不会发现其他东西。
无论什么定理，如果没有新公理参与它的证明，它就不会是新的；推理只能借用直接的直觉给我们以即时自明的真理；它恐怕只是中间的寄生物，因此我们难道没有充分的理由去询问，整个三段论工具是否只是有助于掩饰我们的借用？
翻开任何一本数学书，这种矛盾将会给我们以更大的冲击；在每一页上，作者都要阐述他概括一些已知的命题的意图。数学方法是从特殊行进到一般吗？假若如此，为何又能把它称为演绎的呢？
最后，如果数学是纯粹分析的，或者它能够从少数综合判断通过分析导出，那么博大精深的心智似乎一眼就能察觉它的所有真理；不仅如此，我们甚至可以希望，人们总有一天会发明一种足够简单的语言表达它们，使它们在通常的理智看来也是自明的。
如果我们不赞同这些结果，那就必须承认，数学推理本来就有一种创造能力，从而不同于三段论。
该差别甚至必须是深刻的。例如，按照某一法则，用于两个相等的数的同一个一致运算将给出恒等的结果，我们在频繁使用这一法则时找不出其中的奥秘。
所有这些推理方式，不管它们是否可划归为名副其实的三段论，它们依然保持着分析的特征，正因为如此，它们才是软弱无力的。
Ⅱ
这里要讨论的是老问题；莱布尼茨（Leibnitz）企图证明2加2得4；让我们看一下他的证明吧。
我将假定数1已被定义，又假定运算x+1意谓把单位1加在已知数x上。
这些定义不管是什么，它们都没有进入推理过程。
然后我通过等式
（1）1+1＝2； （2）2+1＝3； （3）3+1＝4
定义数2，3和4。
用同样的方式，我通过下述关系定义运算x+2：
（4）x+2＝（x+1）+1。
由于预先假定了这一切，于是我们有
2+1+1=3+1 （定义2），
3+1=4 （定义3），
2+2= （2+1）+1 （定义4），
由此可得 2+2=4 证毕。
不能否认，这个推理是纯粹分析的。可是若问任何一个数学家：“这不是真正的证明（demonstration） ”，他将会对你说：“这是核验（verification） 。”我们仅限于比较两个纯粹约定的定义，并查明它们是恒等的；我们没有学到什么新东西。核验不同于真的证明，正因为它是纯粹分析的，正因为它是毫无结果的。其所以毫无结果，是因为结论不过是翻译成另一种语言的前提。相反地，真的证明是富有成效的，因为这里的结论在某种意义上比前提普遍。
等式2+2=4是如此易受核验，只因为它是特定的。数学中的每一个特定的阐述总是能够以这种相同的方式核验。但是，如果数学能够划归为一系列这样的核验，它就不会是科学了。例如，棋手并没有在赢棋中创立科学。离开普遍性便没有科学。
人们甚至可以说，精密科学的真正目的就在于使我们省却这些直接的核验。
Ⅲ
因此，让我们看看几何学家是如何工作的，并且力图把握他的工作过程。
这项任务并非没有困难；随便翻开一本书，并分析其中的任何证明，这是不够的。
我们首先必须撇开几何学，由于与公设的作用、空间概念的本性和起源有关的问题相当困难，因而几何学中的疑问是错综复杂的。出于类似的理由，我们也不能转向微积分。我们必须寻找其中依然是纯粹的数学思想，也就是说，必须在算术中去寻找。
选择还是必要的；在数论的比较高深的部分，原始数学概念已经经受了如此深刻的提炼，以至于变得难以分析它们。
因此，正是在算术的开头，我们必须期待找到我们寻求的说明，但是恰恰是在最基本的定理的证明中，发生了这样的情况：经典论文的作者表现得最少精确、最少严格。我们不必把这作为一种罪过归咎于他们；他们服从了必要性；初学者没有受到真正的数学严格性的训练；他们在其中只能看到无用的、使人厌烦的微妙；企图使他们过早地变得更为精密，那不过是白费时间；他们必定会迅速地、但却是按部就班地通过的，而科学奠基人却是缓慢地越过这条道路的。
为了逐渐地习惯于这种完全的严格性————它似乎应该自然而然地施加在一切健全的心智之上，为什么要有如此长的必要的准备呢？这是一个逻辑的和心理的问题，完全值得加以研究。
但是，我们不去处理它；它不是我们的目的；我们必须重新证明最基本的定理，为了不使初学者烦恼，我们不是把这些定理留下的粗糙的形式给予他们，而是把训练有素的几何学家满意的形式给予他们。
加法的定义。我假定已经定义了运算x+1，即把数1加到已知数x上。
这个定义不管是什么，都没有进入我们的后继的推理之中。
我们现在要定义运算x+a，就是把数a加到已知数x上。
假定我们定义了运算
x+（a-1），
则运算x+a将用等式 x+a＝［x+（a-1）］+1 （1）
来定义。 只有我们知道x+（a-1）是什么，然后我们才能知道x+a是什么，正如我假定过的，从我们知道x+1是什么开始，我们就能相继地“借助递归”定义运算x+2，x+3等等。
这个定义值得注意一下；它具有一种特殊的性质，这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来；等式（1）包含着无穷个不同的定义，只要人们知道前者，每一个定义都有意义。
加法的特性————结合性。我说
a+（b+c）＝（a+b）+c.
事实上，该定理对c=1而言为真；于是可写出
a+（b+1）＝（a+b）+1，
该式除符号有差别外，无非是我刚才定义加法的（1）式。 假定该定理对c＝γ而言为真，我说它对c＝γ+1亦为真。
事实上，设
（a+b）+γ＝a+（b+γ），
由此可得 ［（a+b）+γ］+1＝［a+（b+γ）］+1.
或者根据定义（1） （a+b）+（γ+1）=a+（b+γ+1）＝a+［b+（γ+1）］，
这表明，通过一连串的纯粹分析的演绎，该定理对γ+1为真。 由于对c=1为真，从而我们相继看到，它对c=2，c=3等也是如此。
交换性。1°我说
a+1＝1+a.
该定理显然对a=1来说为真；我们能够用纯粹分析的推理来核验，若它对a=γ为真，则它对a＝γ+1也为真；于是，
（γ+1）+1＝（1+γ）+1＝1+（γ+1）；
现在该定理对a＝1为真，因而它对a=2，a=3等亦为真，这可用下述说法来表述：所阐述的命题通过递归而证明。 2°我说
a+b＝b+a.
该定理刚才针对b=1已被证明；可以用分析来核验，若它对b＝β为真，则它对b＝β+1亦为真。
因此，该命题通过递归而成立。
乘法的定义。我们将用下述等式来定义乘法：
a×1＝a，（1）
a×b＝［a×（b-1）］+a.（2）
像等式（1）一样，等式（2）包含着无穷个定义；只要定义了a×1，就能使我们相继定义a×2，a×3等等。
乘法的特性————分配性。我说
（a+b）×c＝（a ×c）+（b×c）.
我们用分析核验，该等式对c＝1而言为真；其次，若该定理对c＝γ为真，则它对c＝γ+1亦为真。
因此，该命题通过递归而证明。
交换性。1°我说
a×1＝1×a.
该定理对a＝1而言是显而易见的。
我们用分析验证，若该定理对a=a为真，则它对a=a+1亦为真。
2°我说
a×b＝b×a.
该定理对于b=1而言刚刚证明过了。我们可以用分析核验，若它对b＝β为真，则它对b=β+1亦为真。
Ⅳ
我在这里不再进行这种一连串单调的推理。但是，正是这种单调的东西，更清楚地把一致的、在每一步都要再次遇到的程序显示出来。
这种程序就是递归证明。我们首先针对n=1规定一个定理；然后我们证明，若该定理对n-1为真，则对n也为真，从而得出结论：它对所有的整数都为真。
我们刚才看到，如何可以用递归来证明加法法则和乘法法则，也就是代数计算法则；这种计算是变换的工具，它有助于形成更多的各种不同的组合，远非简单的三段论所能相比；但是，它依然是纯粹分析的工具，不能告诉我们任何新东西。如果数学没有其他工具，它就会因之即刻阻碍自己的发展；但是，它重新求助于同一程序，即求助于递归推理，从而它能够继续前进。
如果我们密切注视一下，我们在每一步都会再次遇到这种推理方式，它或者是以我们刚才给予它的简单形式出现的，或者是以或多或少修正了的形式出现的。
于是，我们在这里有了典型的数学推理，我们必须更为仔细地审查它。
Ⅴ
递归推理的主要特征是，它包括无穷个三段论，可以说它浓缩在单一的公式中。
为了更清楚地看到这一点，我想依次陈述这些三段论，如果你容许我形容一下的话，它们就好像“多级瀑布”一样直泻而下。
这些当然是假设的三段论。
定理对数1为真。
现在，若它对1为真，则它对2亦为真。
故它对2为真。
现在，若它对2为真，则它对3亦为真。
故它对3为真，如此等等。
我们看到，每一个三段论的结论都是下一个三段论的小前提。
而且，我们的所有三段论的大前提都能简化为单一的公式。
若定理对n-1为真，则它对n亦为真。
其次，我们看到，在递归推理中，我们仅限于陈述第一个三段论的小前提和把所有大前提作为特例包括进来的普遍公式。
从而，这一连串永无休止的三段论就简化为几行短语。
正如我上面已经说明的，现在很容易理解一个定理的每一个特定推论都能够用纯粹分析的程度来核验。
如果我们不去证明我们的定理对于所有数为真，例如我们只希望证明它对6这个数为真，那么建立我们的多级瀑布的头五个三段论对我们来说就足够了；如果我们想针对数10证明该定理，那么只需要9个三段论；数越大，需要的三段论也就越多；然而，不管这个数多么大，我们总能达到目的，从而分析核验是可能的。
可是，无论我们走得多么远，我们也无法上升到对于一切数都适用的普遍定理，而唯有普遍的定理，才是科学的目标。欲达此目的，需要无穷个三段论；这就必须跨越只局限于形式逻辑方法的分析家的忍耐力永远也无法填满的深渊。
起初我曾问过，人们为什么不想象出一个神通广大的心智，一眼就洞察到整个数学真理的本质。
现在很容易回答了；棋手能够预料四五步棋，不管他多么非凡，他也只能准备有限步棋；假使他把他的本领用于算术，他也不能凭借单一的直接直觉察觉算术的普遍真理；为了获得最微小的定理，他也不得不借助递归推理，因为这是能使我们从有限通向无限的工具。
这个工具总是有用的，因为它容许我们像我们所希望的那样飞速跨越许多阶梯，它使我们省去冗长的、使人厌烦的和单调的核验，而这种核验会很快地变得不能实施。但是，只要我们以普遍的定理为目的，它就变得必不可少了，而分析的核验虽则可以使我们不断地接近这一目的，却永远无法使我们达到它。
在算术这个领域，我们可以认为我们自己距微积分十分遥远，然而，正如我们刚刚看到的，数学无限的观念已经起着举足轻重的作用，没有它便没有科学，因为在那里没有普遍的东西。
Ⅵ
递归推理所依据的判断能够处于其他形式之下；例如，我们可以说，在不同整数的无限个集合中，总存在着一个比所有其他数都小的数。
我们能够很容易地从一个阐述推到另一个阐述，由此便产生已经证明过递归推理的合法性的幻觉。但是，我们总会受到阻碍，我们总会达到不可证明的公理，而这个公理实际上只不过是有待证明的、翻译成另一种语言的命题罢了。
因此，我们无法摆脱这样一个结论：递归推理的法则不能划归为矛盾律。
对我们来说，这个法则也不能来自经验；经验能够告诉我们，该法则对头十个数或头一百个数为真；例如，它不能到达无限系列的数，而只能到达这个系列的一部分，不管该部分或长或短，但总是有限的。
现在，假若只是那样一个问题，则矛盾律也就足够了；它总会容许我们展开像我们所希望的那么多的三段论；只有在把无限个三段论包括在单一的公式中时，只有在无限面前时，矛盾律才会失效，也就是在那里，经验变得软弱无力。这个法则是分析证明和经验难以得到的，它是先验综合判断的真正类型。另一方面，我们也不能企图在它之内像在几何学的某些公设中那样看见约定。
可是，这种判断为什么以不可遏止之势迫使我们服从呢？那是因为，它只是证实了心智的威力，心智知道，它本身能够想象得出，只要这种行为一次是可能的，同样的行为就可以无限期地重复下去。心智对这种威力有一种直接的直觉，而经验只不过是为利用它、并进而变得意识到它提供机会。
但是，有人会问，如果未加工的经验不能证明递归推理的合法性，那么借助于归纳的实验也是这样吗？我们陆续看到，一个定理对1，2，3等数为真；我们说，这个规律是明显的，它像每一个基于为数很多、但却是有限的观察的物理学定律一样，有着相同的根据。
必须承认，在这里存在着与通常的归纳程序酷似之处。不过，也有本质的差别。用于物理科学中的归纳总是不确定的，因为它建立在宇宙具有普遍秩序的信念上，而这种秩序却是在我们之外的。相反地，数学归纳法即递归证明却必然地强加于我们，因为它只不过是心智本身的特性的确认。
Ⅶ
正如我前面已经说过的，数学家总是力图概括他们所得到的命题，不必另找例子，我刚才已经证明了等式：
a+1＝1+a，
后来利用它建立等式 a+b＝b+a，
该等式显然更为普遍。 因此，像其他科学一样，数学也能够从特殊行进到普遍。
在开始这项研究时，这是一个我们似乎不可理解的事实，但是由于我们弄清了递归证明和普通归纳的类似性，这个事实在我们看来就不再神秘了。
毫无疑问，数学中的递归推理和物理学中的归纳推理建立在不同的基础上，但是它们的步调是相同的，它们在同一方向前进，也就是说，从特殊到普遍。
让我们稍为比较仔细地审查一下这种情况。
为了证明等式
a+2＝2+a，
只要把法则 a+1＝1+a（1）
运用两次就足够了，而且可以写出 a+2＝a+1+1＝1+a+1＝1+1+a＝2+a.（2）
无论如何，用纯粹分析的方法从等式（1）如此演绎出来的等式（2）绝不仅仅是（1）式的特例；它是完全不同的某种东西。
因此，我们甚至不能说：在数学推理的真正分析的和演绎的部分，我们是在该词的通常意义上从普遍行进到特殊。
与等式（1）的两个数相比，等式（2）的两个数只不过是更为复杂的组合而已，分析仅仅用来把进入这些组合中的元素分开并研究它们的关系。
因此，数学家是“通过构造”而工作的，他们“构造”越来越复杂的组合。他们通过分析这些组合，这些集合体，可以说返回到它们的初始元素，他们察觉到这些元素的关系，并从它们推导出集合体本身的关系。
这是纯粹分析的步骤，但是它无论如何不是从普遍到特殊的步骤，因为很明显，不能把集合体视为比它们的元素更特殊。
人们正当地赋予这种“构造”程序以重大的意义，一些人还力图从中发现精密科学进步的必要条件和充分条件。
无疑地，这样做是必要的；但并不是充分的。
要使一种构造物有用而不白费心血，而且可以作为人们希望攀登的阶梯，那么它首先必须具有一种统一性，这种统一性能使我们从中看到某种东西，而不只是看到它的元素本身的并置。
或者，更确切地讲，考虑构造物，而不是考虑它的元素本身，必定有某些好处。
这种好处能够是什么呢？
例如，为什么针对总是可以分解为三角形的多边形推理，而不针对基本的三角形推理呢？
这是因为属于任何边数的多边形的特性可以用于任何特定的多边形。
相反地，通过直接研究基本三角形的关系发现这些特性，结果就要耗费大量的精力。知道了普遍定理便节省了这些精力。
因此，一个构造物要变得有趣，只有当它能够与其他类似的构造物并列，从而形同一个属（genus）的种（species）时。
假如四边形不是两个三角形的并置，这是因为它属于多边形之属。
而且，人们必定能够证明这个属的特性，而不会被迫针对每一个种去相继建立它们。
欲达此目的，我们必须攀登一个或多个阶梯，从特殊上升到普遍。
“通过构造”的分析程序没有迫使我们下降，而是让我们留在同一水平线上。
我们只有借助数学归纳法才能攀登，唯有它能够告诉我们某种新东西。没有在某些方面与物理学归纳法不同的、但却同样有效的数学归纳法的帮助，则构造便无力去创造科学。
最后要注意，只有同样的运算能够无限地重复，这种归纳法才是可能的。这就是为什么国际象棋的理论从来也不能变成科学，因为同一象棋比赛的不同走法彼此并不相似。