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第四章 数学学科
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对于每一种形式的人类活动，我们都必需不时地问一问，它的目的和目标是什么？它在什么方面促进人类存在的美？关于那些通过提供生命机理而只是远距离地产生促进作用的研究活动，提醒人们注意以下这一点是合适的：在思考重要的事物时，并非活单纯的活着的事实而是关于如何活着的艺术才是值得我们想望的。对于那些在自身之外没有目的的业余活动，以及那些因实际增加了这个世界永久财富之总量而将得到正当性证明————假如终究能被证明————的业余活动，则更需要始终以某种方式知悉它们的目标，而此种知悉即在于清晰地预见创造性想象体现于其中的殿堂。
很遗憾，在与形成那种惯常决定用来训练年轻人头脑的材料的学科有关的东西中，这种要求的满足实际上几乎是不可能的，甚至于单纯陈述这样一种主张都显得荒谬。一些伟大的人物充分意识到沉思活动之美，毕生致力于提供此种美的服务，并希望其他人可以分享他们的快乐；他们说服人类向后代传授机械性的知识，没有这种知识就不可能跨过门槛。干瘪的学究自身占有灌输这种知识的特权：他们忘记了这种知识只能用作打开殿堂之门的钥匙；虽然他们把生命都耗在向上通往那些神圣之门的台阶上，但他们掉头不顾这座殿堂，并且态度坚决，以至于完全忘记了其真正的存在，而那些肯奋力向前并初步看到其屋顶及拱门的热切的年轻人，则被吩咐转过身来去数这些台阶。
数学已遭遇这种它在文明中的应有地位被人遗忘的情形，而且它的这种处境甚至也许比希腊与罗马学科还糟糕。尽管传统要求绝大多数受过教育的人至少要知道这门学科的基本原理，但传统因之产生的理由却被人遗忘了，并被埋葬在一个由迂腐和浅薄之物构成的巨大的垃圾堆下。对于那些追问数学目的的人来说，通常的答案将是它促进了机器的制造、从一地到另一地的旅行，以及不管在战争中还是在贸易中针对外邦的胜利。假如有人反对说，这些目标————它们全都具有不明确的价值————没有受到那些并未成为专业数学家的人所不得不接受的纯粹基础课程的促进，那么答复确实很可能在于数学训练推理能力。然而，恰恰是作出这种答复的人多半不愿意放弃某些明确的谬误推理的传授，而每一个聪明的学习者的朴素思维都知道那些谬误推理，并会本能地拒绝它们。那些强调培养推理能力的人通常把这种能力本身构想为单纯的避免陷阱的手段以及发现实际生活指导准则的帮手。不可否认，所有这些都是可归于数学名下的重要成就；然而，这些当中无一能让数学有资格在每一种自由教育中占有一席之地。我们知道，柏拉图认为人们若思考数学真理就拥有了神性；而且，关于人类生活中在天国拥有一席之地的那些成份是什么，他或许比任何其他个人都有更多的认识。柏拉图说，在数学中“有某种必然的且不能弃之不问的东西……，假如我没有弄错的话，那就是具有神的必然性的东西；因为，至于许多人在这方面所谈及的人的必然性，再没有比这样应用这些词更可笑不过了。【克列尼亚斯】那么，陌生人，知识中这些神的而非人的必然性是什么呢？【雅典人】对于有些东西，一个人若不以某种方式使用或知晓它们，他就不能成为世界的一个神，也不能成为一个精灵，甚至不能成为一个英雄，不能热切思考并关心人类；所谓神的必然性就是这样的一些东西”（《法律篇》第818页）注23。这就是柏拉图对数学的判断；但是，数学家们不读柏拉图，而那些读柏拉图的人又不懂数学，并认为他在这个问题上的意见只是一种离奇的偏离常轨的东西。
从正确的角度看，数学不仅拥有真理，还拥有至上的美；有如雕塑之美，这是一种冷静的、简朴的美。这种美无须诉诸我们较弱的天性的任何部分；而且它虽没有绘画或音乐的那种绚丽装饰，却有一种令人崇敬的纯粹，并能表现出一种唯有伟大的艺术才能显示出来的严格意义上的完美。作为最卓越的东西的试金石，真正的快乐心境、兴奋及超出人的存在的感觉，肯定都会在数学中发现；这与在诗中的情形是一样的。数学中最好的东西不仅值得作为一种任务来学习，而且亦值得作为日常思想的一部分来吸收，并通过持续不断的鼓励时时记于心间。对于绝大多数人来说，真实的生活是一种长久的居第二位的东西；它是理想与可能之间的一种连续不断的妥协的产物。但是，纯粹理性的世界并不知道什么是妥协，并不知道什么是实际的限度，并不知道什么是创造性活动的障碍；创造性活动把人们对完美的热情追求都具体化为一座座辉煌的大厦，而一切伟大的作品都是从此种追求中产生的。远离人的热情，甚至远离大自然的可怜的事实，一代又一代的人已逐渐创造一个有序的宇宙。在这个宇宙中，纯粹的思想，就像在其天然之家一样，能够栖息下来；而且在这里，我们的高贵冲动中至少有一种可以逃避现实世界的令人沮丧的放逐。
然而，数学家们极少追求美，以至于他们的工作中几乎没有什么东西具有这种自觉的意图。由于一些不可抗拒的本能（这些本能曾比被公开声称的信念更有效），许多工作都已被一种不自觉的趣味模型化了，但亦有许多工作已为在什么是适当的这个问题上的错误观念所损害。仅在出现严格意义上的逻辑推理的地方，数学特有的卓越之处才会被发现；逻辑规则之于数学正如构造规则之于建筑学。在最出色的工作中，会呈现出一个证明的链条；在此链条中，每一个环节从其自身来说就是重要的，并且整个链条自始至终都有一种自然而又清晰的外观。此外，在证明中，通过一些看似自然而又不可不用的方法，从前提中引出的东西将比原先认为可能会得到的东西更多。文学把一般的东西具体化于特殊的事实，而这些特殊事实的普遍意义显露并贯穿于其个体化的外观中；但是，数学努力呈现任何一种纯粹意义上的极其一般的东西，而无任何不相关的装饰。
应该如何进行数学教学，以便向学习者传授尽可多的这种高级理想呢？这里，经验必须在很大程度上作为我们的指南；但是，一些基本原理可以从我们对将要获得的终极意图的思考中产生。
当以正确的方式传授时，数学所服务的主要目标之一，就在于唤醒学习者对理性的信念和他对被证明之物的真理性及证明之价值的确信。现行的教育活动并没有满足这种意图；但是，我们容易看到它在其中可能被满足的一些方面。当前，在涉及算术的教学中，儿童被给予一组规则；这些规则自身既未表现为对的东西，亦未表现为错的东西，而只表现为教师的意志，即表现为教师因某种难以理解的理由而偏爱游戏得以开展的方式。从某种程度上讲，在具有这样的明确的实际功用的课程中，这种情况无疑是不可避免的；但是，应该尽早通过任何一种最容易对儿童产生吸引力的方法来阐述关于规则的理由。在几何学中，不应再有以靠不住的方式证明显而易见的自明之理时所出现的那种冗长乏味的装置；这些自明之理构成欧几里得几何学的开端。学习者应该首先被允许去假定一切显而易见的东西的真理性，并应该在对某些定理的证明中得到训练；所说的那些定理，指的是会立即让人感到吃惊并容易通过实际画图而得以证实的定理，比如可以表明三条线或更多条线相交于一点的那些定理。通过这种方式，信念就产生了；我们看到，推理可以导致一些令人吃惊的结论，然而事实又将证实它们。因此，对任何抽象的或理性的东西的本能上的不信任，就逐渐地被克服了。在出现深奥定理的地方，那些定理应该首先在几何画图时作为习题教给学习者，直至他们彻底熟悉图形；然后，教之以所出现的各种线或圆的逻辑联系就会是一种令人愉快的进步。同样值得期望的是，阐明一个定理的图形应该画在所有可能的例子与形态中，而且几何学所关心的抽象关系，因此可自动作为如此巨大而又明显的差异中的相似性之残余而出现。通过这种方式，抽象证明应该只形成教学活动的一小部分，而且当学习者通过熟悉具体的例子而意识到抽象证明是可见事实的自然体现时，我们就应该给出这样的证明了。在此早期阶段，当进行证明时，我们不应该追求学究式的完美。一些明显错误的方法，比如叠加法，应该严格地从第一阶段排除；但是，当因为没有这样的方法而导致证明将会非常困难时，我们应该通过与证明形成清晰对比的论证和说明来让结论变得可接受。
在代数学的开端，连最聪明的儿童通常也会感到有很大的困难。字母的使用是一种神秘；除了使其神秘化外，这种使用没有任何目的。起初，儿童几乎不可能不这样想：每一个字母都代表某个特殊的数目，但愿老师会泄露它代表什么数目。事实上，在代数学中，心灵首先被教导去思考一般真理，即被断言不只对于这种或那种特殊事物而是对整个一组事物中任何一个都有效的真理。正是理解并发现这样的真理的能力，才体现着智力对由现实的或可能的事物所构成的整个世界的掌控；而且处理一般本身的能力是数学教育应该赠予的礼物之一。但是，代数学老师对把代数学从算术中分离出来的裂缝所能做出的解释通常少得可怜，而且学习者在探索性地寻求理解时所得到的帮助也是少得可怜。一般说来，算术中已被采纳的方法会被继续使用：一些规则是在其根据未得到充分解释的情况下被陈述的；小学生们盲目地学习使用这些规则，而且不久，当他们能够获得老师想要的答案时，他们觉得自己已征服了这门学科的困难。但是，在如何内在地理解所使用的这些步骤的问题上，他很可能几乎什么也没有习得。
当既已学习代数学时，在我们开始接触那些运用无穷概念的课程即微积分和整个高等数学之前，一切都将很顺利。针对围绕在数学上的无穷概念周围的困难而提出的解决方案，很可能是我们自己这个时代引以为自豪的最伟大成就。从希腊思想的开端，这些困难就已被人认识到了；每一个时代具有最非凡才智的人，都在徒劳地尝试回答由爱利亚的芝诺所提出的那些显然回答不了的问题。最后，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）发现了问题的答案，并为智力征服了一片原已交给混乱及古老黑夜的新的巨大领域。假如从任意事物集合中拿走一些事物，那么剩余事物的数目一定总是少于原先的事物的数目；在康托尔和戴德金（Dedekind）确立相反的命题之前，这一点曾被假定为自明的。事实上，这个假定只对有限的集合有效；而且人们已经表明，在涉及无限的地方，若摈弃这个假定，就将清除在这个问题上迄今一直让人类理性感到困惑的所有困难，并使得创造一种精确的关于无限的科学成为可能。这一令人惊叹的事实应该在高级数学教学中引起一场革命；它已将自身不可估量地添加到了这门科目的教育价值中，并且最终为用逻辑的精确性处理许多课程提供了手段，而那些课程直到不久前还笼罩在谬误与晦暗之中。那些依据旧的思路接受教育的人认为，这项新的工作是极其费力的、难解的、模糊的，以至于让人觉得害怕。此外，我们必须承认，发现者自己常常也几乎没有从他的才智之光正在驱散的雾霭中现身。但本质上，对于所有坦诚而又爱探究的心灵来说，新的无限学说已经促进了对高等数学的掌控，这是因为，迄今为止，对于有些论证，我们虽在初次接触时就正确地判断它们是混乱和错误的，但一直都必须通过一个长期的复杂过程，去学习如何同意它们。既然如此，我们远未产生一种对理性的无畏的信念，即远不能勇敢地拒绝任何不能满足最严格的逻辑要求的东西；由于这一点，在过去的两个世纪中，数学训练助长了这样的信念，即对于许多东西，一种严格的探究会把它们作为谬误加以拒绝，但因为它们在数学家所谓的“实践”中起作用，所以仍然必须被接受。通过这种方法，一种胆小的妥协的精神，要不就是一种为俗人所无法理解的对神迹的神父式信念，已经在单独由理性主宰的地方得到了培育。现在是清除掉所有这一切的时候了；让我们立即把真实的理论教给那些希望洞察数学秘密的人，而且这种教学要在相关实际存在物的真正本质所确立的连结中进行，并完全只关心所涉及的理论的逻辑性质。
假如我们认为数学自身就是一种目标，而非是对工程师的一种技术训练，那么保持其推理的纯粹性与严格性就是非常可取的。因而，我们应该让那些已充分了解其相对容易的部分的人，从已作为自明之理而得到他们同意的命题，回到先前作为前提出现的东西可以从中演绎出来的一些越来越基本的原理。我们应该教导他们的是，许多命题对未经训练的心灵而言似乎是自明的，但在近距离的审查之下仍被表明是错误的；无限理论很容易阐明这一点。通过这种方法，他们将被引导着去对最先的原理作一种怀疑式的探究，即考察整个推理大厦建立于其上的基础，或者说考察————作一个也许更恰当的比喻————扩展的树枝由之长出的树干。在这个阶段，如果重新学习数学的基础部分，且不再只问一个特定的命题是否为真，也要问它是如何由中心逻辑原理演绎出来的，那将是合适的。现在我们能够准确并有把握地回答这种性质的问题了，而如果放在以前，这些问题完全不可能得到回答；并且，在这种回答所依赖的推理链条中，全部数学门类之间的那种统一性最终也将展现自身。
在绝大多数的数学课本中，完全缺少一种方法上的统一性以及对中心论题的一种系统的展开。不同种类的命题通过任意一种被认为最容易理解的方法而得到证明，而且大量的证明空间被给予了对主要论证不起一点作用的单纯求知欲。但在最伟大的作品中，统一性和必然性是在一出戏剧的展开中被人感觉到的；在前提中，一个主题被提出来供人思考，而且就对其性质的把握而言，在随后的每一个步骤中，我们都会取得某种明确的进步。对体系的爱，或者说，对相互联系的爱，也许是知识冲动的最秘密的本质；这种爱能够在数学中发现自由的空间，而在其他地方是发现不了的。感受到这种冲动的学习者不可因一连串无意义的例子而产生厌恶，也不可因一些令人开心的怪异之物而分心，但我们必须鼓励他们常常去思考中心原理，去熟悉放在他面前的各种不同主题的结构，去轻松完成更重要的演绎步骤。通过这种方式，一种好的心境就养成了，并且选择性注意力就习惯于先去思考重要和必要的东西。
当分门别类的数学课程中的每一门都被已看作一个逻辑上的整体以及一种从构成其原理的命题中自然生长出来的东西时，学习者将有能力理解统一整个演绎推理并使其成为一体的基本科学，即符号逻辑。这门学科虽由亚里士多德所开创，然而就其诸多更广泛的发展结果而言，它几乎完全是十九世纪的产物，而且在今天，它实际上还在极快速地成长着。符号逻辑中真实的发现方法，就在于着眼于发现所使用的原理，来分析演绎推理的实际例子；而且，这种分析很可能也是把这门学科介绍给熟悉数学中其他部分的学习者的最好方法。这些原理多半都深入到了我们的推理本能中，从而导致我们完全意识不到我们使用了它们，并且只能通过许多耐心的努力才能使它们暴露出来。但是，当它们最终被发现时，我们看到它们在数目上是很少的，而且是纯数学中一切东西的唯一来源。发现所有数学都不可避免地产生于一个由少量几条基本法则所构成的集合，无限提升了整体所具有的知识上的美；对于那些被当前绝大多数演绎链条的不连续性及不完全性所压制的人，这种发现是带着一种启示所具有的全部势不可挡的力量而到来的；就像随着旅行者沿意大利的一座小山腰向上攀登时而从秋雾中浮现的一座宫殿一样，数学大厦的那些宏伟楼层依其应有的顺序和比例出现了，并且该大厦的每一部分都体现着一种新的完美。
直到符号逻辑发展到其当前的阶段，数学所依赖的原理才总被设想为是哲学的，并且只有通过哲学家们迄今所使用的那些不确定的、保守的方法才能被发现。只要持有这样的看法，数学似乎就不是独立的，而是依赖于另一门学科；与数学自身的方法相比，这门学科拥有一些完全不同的方法。此外，由于算术、分析学及几何学将会由之演绎出来的那些假定的性质被笼罩在一切传统的形而上学讨论的晦暗之中，建立在这样的可疑的基础上的大厦实际上开始只被看作空中楼阁。就此而言，由于发现真实的原理就如其任何一种推论一样也是数学的一部分，我们已在很大程度上提升了将要获得的理智上的满足。那些不能分享此种满足的学习者不应该拒绝它，因为它会提升我们对人的力量及关于抽象世界的美的知识的尊重。
哲学家们通常认为，数学背后的逻辑法则就是思维法则，即调节我们头脑运行的法则。这种看法在很大程度上降低了理性的真正的尊贵；它不再是对所有实际的及可能的事物的真正核心和不变本质的研究，相反倒成了对某种或多或少与人相关并受制于我们自身的局限的事物的探究。思考与人无关的东西，发现我们的心灵有能力处理并非由其创造的物质，尤其是认识到美既为内在事物所拥有也为外在事物所拥有，是克服令人恐怖的无力感、脆弱感及身陷诸多不友好力量中间的被放逐感的主要手段，这些感觉极容易因承认几乎无所不能的异己力量而产生。通过展示其令人敬畏的美而让我们甘心于命运的统治，是悲剧的任务；而所谓命运，只是这些力量在文学作品中的拟人化表达。但是，数学把我们带到了离与人相关的东西更远的地方，并进入绝对必然性领域；对于这种领域，不仅实际的世界，而且每一种可能的世界，都要与其相一致。而且，它甚至在这个领域中建立了一个住所，或者说发现了一个永久存在的住所；我们的理想在这个住所中得到了充分的满足，而且我们最好的希望没有遇挫。仅当我们完全理解了我们自己的全部独立性时，我们才能充分认识到数学之美的根本重要性。
不仅数学独立于我们及我们的思想，而且在另外一种意义上，我们以及由全部现存事物所构成的整个宇宙则又独立于数学。假如我们要正确地理解作为艺术门类之一的数学的地位，对这种纯粹理想的特征的领会是必不可少的。人们先前设想，纯粹理性能在某些方面对实际世界的性质作出判定：至少，几何学曾被认为是处理我们居住于其中的空间的。但我们现在知道，纯数学完全不能对关于实际存在之物的问题发表意见：在某种意义上，理性世界控制事实世界，但绝不创造事实；而且在把结果应用于处在时间和空间中的世界时，其确定性与精确性就将消失在一些近似的东西及作业假说中。在过去，数学思考的对象主要是现象所让人想到的那一种；但是，抽象的想象应该完全摆脱这样的限制。因而，理性与事实之间一定有一种相互授予的自由：理性不能对事实世界发号施令，但是，当理性对美的爱使得一些对象似乎值得人们的思考时，事实亦不能限制理性处理任意一种这样的对象的特权。在这里，像在其他地方一样，我们将从所发现世界的碎片中逐步建立起我们自己的理想，而且到头来难说结果是一种创造，拟或是一种发现。
在教学中，一种非常可取的做法是，既让学生相信重要原理的准确性，又在所有可能的方式中以拥有最多的美的那一种做到这一点。像传统的阐述方式所表明的那样，对一种证明的真正兴趣并不完全集中在结果上；当这种情况确实发生时，必须把它看作一种缺陷，并且如果可能的话，要对这种缺陷进行纠正，而纠正的方式则在于对证明的步骤进行概括，并让每一个步骤就其自身而言且对其自身而言都变得重要。只用来证明一个结论的论证类似于一个以某种寓意为中心思想的故事，而此种寓意则是人们所要传授的东西：对于美的完善性而言，整体的任何部分都不应该仅仅是一种手段。某种讲究实际的精神，或者说，一种快速取得进步与征服新的领域的愿望，应对数学教学中盛行的那种过分强调结果的行为负责。比较恰当的方式是提出某个题目以供思考；这样的题目，在几何学中是一种拥有若干重要性质的图形，而在分析学中则是一种若加以研究就会给人以启发的函数，如此等等。每当证明仅仅依赖于我们用来定义所要研究的对象的某些标志时，这些标志应该被分离出来加以单独审查；这是因为，在论证中，使用比结论所需更多的前提是一种缺陷：仅仅使用论点由之得到证实的必要的原理，才会产生数学家们所谓的优美。欧几里得的一个优点就在于，他能尽量在不使用平行公理注24的情况下往前推进。这并非如通常所说的那样是因为这条公理本质上是会引起反对的，而是因为在数学中，每一条新的公理都会降低它所产生的定理的一般性，而最高的可能的一般性出现在一切被寻求的东西面前。
关于数学在其自身范围以外的影响，人们已写下了一些东西；这些东西比在数学自身的固有理想这一主题上的著述还要多。过去，数学对哲学的影响是最显著的，但又是最具多样性的；十七世纪的唯心论与唯理论，以及十八世纪的唯物论和感觉论，似乎都是这种影响的产物。关于数学在未来可能会产生的影响，如果说得很多，那就太性急了；但从一个方面看，似乎很可能出现一种好的结果。针对因道路是艰辛的且目标并非一定是可获得的而放弃理想之追求的那种怀疑论，数学在其自身的范围内就是一个完全的答复。人们老是说：没有绝对真理，而只有意见和私人判断；在观察世界时，我们每一个人都受到其自己的个性、偏好及偏见的制约；不存在我们最终可以通过坚忍和训练而被获准进入的外在真理王国，而只存在我的真理、你的真理以及每一个不同的人的真理。人类勉力尝试的主要目标之一就被这些习惯性想法否决了，而且真诚及对存在之物的无畏承认的至上美德，都从我们的道德视野中消失了。对于这样的怀疑论来说，数学是一种永久的责备，因为在面对怀疑的悲观情绪所拥有的一切武器时，其真理大厦依然是不可动摇且固若金汤的。
数学对实际生活的影响尽管不应被看作我们的研究动机，但可以用来答复孤独的学生必定始终容易产生的疑问。在一个如此充满罪恶与苦难的世界中，隐居于沉思的修道院并享受虽高贵却必定总是只为少数人所拥有的快乐，不能不等于多少有点自私地拒绝分担某种重担，即正义未能对其起作用的偶然因素所强加于他人身上的重担。我们问，我们任何人有权从当前的罪恶中抽身并让我们的同伴变得无助，而我们自己却过着一种虽艰难和简朴然而就其自身性质来说却显然令人满意的生活吗？当这些问题出现时，真实的答案无疑在于：一些人必须让神圣之火继续存在，或者说，每一代都必须有一些人去保护那萦绕心头且暗示着这么多的努力所指目标的幻想。但是，当这样的答案显得过分冷酷时（有时一定是这样的），当我们被无法对其提供帮助的悲伤场面折磨得几近发疯时，那么我们可以想到，比起在实践中更活跃的同时代人，数学家时常间接地为人类幸福做了更多的事情。科学史充分证明，大量的抽象命题，即使就像在关于二次曲线部分的情形中那样存在两千年却没有对日常生活产生影响，仍然可以在任何时刻被用来在每一个公民的习惯性思想和日常事务中引起一场革命。蒸汽和电————举一些突出的例子————的使用只是因为有了数学才成为可能。在抽象思维的结果中，世界拥有一种资本；迄今为止，为使这个共同的地球富裕起来而对这种资本所进行的使用并没有可发现的限度。经验也没有提供什么方法来判定数学中哪些部分将会被发现是有用的。因此，实用只能是灰心时刻的一种安慰，而非指导我们研究的一个准则。
对于道德生活的健康化，对于一个时代或一个民族的格调的高贵化，更严谨的美德拥有一种奇特的力量；此种力量超过未被思想渗透和净化过的那些美德的力量。在这些更严谨的美德中，对真理的爱是首要的；而且在数学中，这种爱比在其他地方更可以为变弱的信念找到鼓励。每一门重要的学科不仅自身就是一种目标，而且是创造并支撑一种高尚的心灵习性的手段。在整个数学的教与学中，我们都应该牢记这样的目的。
对于每一种形式的人类活动，我们都必需不时地问一问，它的目的和目标是什么？它在什么方面促进人类存在的美？关于那些通过提供生命机理而只是远距离地产生促进作用的研究活动，提醒人们注意以下这一点是合适的：在思考重要的事物时，并非活单纯的活着的事实而是关于如何活着的艺术才是值得我们想望的。对于那些在自身之外没有目的的业余活动，以及那些因实际增加了这个世界永久财富之总量而将得到正当性证明————假如终究能被证明————的业余活动，则更需要始终以某种方式知悉它们的目标，而此种知悉即在于清晰地预见创造性想象体现于其中的殿堂。
很遗憾，在与形成那种惯常决定用来训练年轻人头脑的材料的学科有关的东西中，这种要求的满足实际上几乎是不可能的，甚至于单纯陈述这样一种主张都显得荒谬。一些伟大的人物充分意识到沉思活动之美，毕生致力于提供此种美的服务，并希望其他人可以分享他们的快乐；他们说服人类向后代传授机械性的知识，没有这种知识就不可能跨过门槛。干瘪的学究自身占有灌输这种知识的特权：他们忘记了这种知识只能用作打开殿堂之门的钥匙；虽然他们把生命都耗在向上通往那些神圣之门的台阶上，但他们掉头不顾这座殿堂，并且态度坚决，以至于完全忘记了其真正的存在，而那些肯奋力向前并初步看到其屋顶及拱门的热切的年轻人，则被吩咐转过身来去数这些台阶。
数学已遭遇这种它在文明中的应有地位被人遗忘的情形，而且它的这种处境甚至也许比希腊与罗马学科还糟糕。尽管传统要求绝大多数受过教育的人至少要知道这门学科的基本原理，但传统因之产生的理由却被人遗忘了，并被埋葬在一个由迂腐和浅薄之物构成的巨大的垃圾堆下。对于那些追问数学目的的人来说，通常的答案将是它促进了机器的制造、从一地到另一地的旅行，以及不管在战争中还是在贸易中针对外邦的胜利。假如有人反对说，这些目标————它们全都具有不明确的价值————没有受到那些并未成为专业数学家的人所不得不接受的纯粹基础课程的促进，那么答复确实很可能在于数学训练推理能力。然而，恰恰是作出这种答复的人多半不愿意放弃某些明确的谬误推理的传授，而每一个聪明的学习者的朴素思维都知道那些谬误推理，并会本能地拒绝它们。那些强调培养推理能力的人通常把这种能力本身构想为单纯的避免陷阱的手段以及发现实际生活指导准则的帮手。不可否认，所有这些都是可归于数学名下的重要成就；然而，这些当中无一能让数学有资格在每一种自由教育中占有一席之地。我们知道，柏拉图认为人们若思考数学真理就拥有了神性；而且，关于人类生活中在天国拥有一席之地的那些成份是什么，他或许比任何其他个人都有更多的认识。柏拉图说，在数学中“有某种必然的且不能弃之不问的东西……，假如我没有弄错的话，那就是具有神的必然性的东西；因为，至于许多人在这方面所谈及的人的必然性，再没有比这样应用这些词更可笑不过了。【克列尼亚斯】那么，陌生人，知识中这些神的而非人的必然性是什么呢？【雅典人】对于有些东西，一个人若不以某种方式使用或知晓它们，他就不能成为世界的一个神，也不能成为一个精灵，甚至不能成为一个英雄，不能热切思考并关心人类；所谓神的必然性就是这样的一些东西”（《法律篇》第818页）注23。这就是柏拉图对数学的判断；但是，数学家们不读柏拉图，而那些读柏拉图的人又不懂数学，并认为他在这个问题上的意见只是一种离奇的偏离常轨的东西。
从正确的角度看，数学不仅拥有真理，还拥有至上的美；有如雕塑之美，这是一种冷静的、简朴的美。这种美无须诉诸我们较弱的天性的任何部分；而且它虽没有绘画或音乐的那种绚丽装饰，却有一种令人崇敬的纯粹，并能表现出一种唯有伟大的艺术才能显示出来的严格意义上的完美。作为最卓越的东西的试金石，真正的快乐心境、兴奋及超出人的存在的感觉，肯定都会在数学中发现；这与在诗中的情形是一样的。数学中最好的东西不仅值得作为一种任务来学习，而且亦值得作为日常思想的一部分来吸收，并通过持续不断的鼓励时时记于心间。对于绝大多数人来说，真实的生活是一种长久的居第二位的东西；它是理想与可能之间的一种连续不断的妥协的产物。但是，纯粹理性的世界并不知道什么是妥协，并不知道什么是实际的限度，并不知道什么是创造性活动的障碍；创造性活动把人们对完美的热情追求都具体化为一座座辉煌的大厦，而一切伟大的作品都是从此种追求中产生的。远离人的热情，甚至远离大自然的可怜的事实，一代又一代的人已逐渐创造一个有序的宇宙。在这个宇宙中，纯粹的思想，就像在其天然之家一样，能够栖息下来；而且在这里，我们的高贵冲动中至少有一种可以逃避现实世界的令人沮丧的放逐。
然而，数学家们极少追求美，以至于他们的工作中几乎没有什么东西具有这种自觉的意图。由于一些不可抗拒的本能（这些本能曾比被公开声称的信念更有效），许多工作都已被一种不自觉的趣味模型化了，但亦有许多工作已为在什么是适当的这个问题上的错误观念所损害。仅在出现严格意义上的逻辑推理的地方，数学特有的卓越之处才会被发现；逻辑规则之于数学正如构造规则之于建筑学。在最出色的工作中，会呈现出一个证明的链条；在此链条中，每一个环节从其自身来说就是重要的，并且整个链条自始至终都有一种自然而又清晰的外观。此外，在证明中，通过一些看似自然而又不可不用的方法，从前提中引出的东西将比原先认为可能会得到的东西更多。文学把一般的东西具体化于特殊的事实，而这些特殊事实的普遍意义显露并贯穿于其个体化的外观中；但是，数学努力呈现任何一种纯粹意义上的极其一般的东西，而无任何不相关的装饰。
应该如何进行数学教学，以便向学习者传授尽可多的这种高级理想呢？这里，经验必须在很大程度上作为我们的指南；但是，一些基本原理可以从我们对将要获得的终极意图的思考中产生。
当以正确的方式传授时，数学所服务的主要目标之一，就在于唤醒学习者对理性的信念和他对被证明之物的真理性及证明之价值的确信。现行的教育活动并没有满足这种意图；但是，我们容易看到它在其中可能被满足的一些方面。当前，在涉及算术的教学中，儿童被给予一组规则；这些规则自身既未表现为对的东西，亦未表现为错的东西，而只表现为教师的意志，即表现为教师因某种难以理解的理由而偏爱游戏得以开展的方式。从某种程度上讲，在具有这样的明确的实际功用的课程中，这种情况无疑是不可避免的；但是，应该尽早通过任何一种最容易对儿童产生吸引力的方法来阐述关于规则的理由。在几何学中，不应再有以靠不住的方式证明显而易见的自明之理时所出现的那种冗长乏味的装置；这些自明之理构成欧几里得几何学的开端。学习者应该首先被允许去假定一切显而易见的东西的真理性，并应该在对某些定理的证明中得到训练；所说的那些定理，指的是会立即让人感到吃惊并容易通过实际画图而得以证实的定理，比如可以表明三条线或更多条线相交于一点的那些定理。通过这种方式，信念就产生了；我们看到，推理可以导致一些令人吃惊的结论，然而事实又将证实它们。因此，对任何抽象的或理性的东西的本能上的不信任，就逐渐地被克服了。在出现深奥定理的地方，那些定理应该首先在几何画图时作为习题教给学习者，直至他们彻底熟悉图形；然后，教之以所出现的各种线或圆的逻辑联系就会是一种令人愉快的进步。同样值得期望的是，阐明一个定理的图形应该画在所有可能的例子与形态中，而且几何学所关心的抽象关系，因此可自动作为如此巨大而又明显的差异中的相似性之残余而出现。通过这种方式，抽象证明应该只形成教学活动的一小部分，而且当学习者通过熟悉具体的例子而意识到抽象证明是可见事实的自然体现时，我们就应该给出这样的证明了。在此早期阶段，当进行证明时，我们不应该追求学究式的完美。一些明显错误的方法，比如叠加法，应该严格地从第一阶段排除；但是，当因为没有这样的方法而导致证明将会非常困难时，我们应该通过与证明形成清晰对比的论证和说明来让结论变得可接受。
在代数学的开端，连最聪明的儿童通常也会感到有很大的困难。字母的使用是一种神秘；除了使其神秘化外，这种使用没有任何目的。起初，儿童几乎不可能不这样想：每一个字母都代表某个特殊的数目，但愿老师会泄露它代表什么数目。事实上，在代数学中，心灵首先被教导去思考一般真理，即被断言不只对于这种或那种特殊事物而是对整个一组事物中任何一个都有效的真理。正是理解并发现这样的真理的能力，才体现着智力对由现实的或可能的事物所构成的整个世界的掌控；而且处理一般本身的能力是数学教育应该赠予的礼物之一。但是，代数学老师对把代数学从算术中分离出来的裂缝所能做出的解释通常少得可怜，而且学习者在探索性地寻求理解时所得到的帮助也是少得可怜。一般说来，算术中已被采纳的方法会被继续使用：一些规则是在其根据未得到充分解释的情况下被陈述的；小学生们盲目地学习使用这些规则，而且不久，当他们能够获得老师想要的答案时，他们觉得自己已征服了这门学科的困难。但是，在如何内在地理解所使用的这些步骤的问题上，他很可能几乎什么也没有习得。
当既已学习代数学时，在我们开始接触那些运用无穷概念的课程即微积分和整个高等数学之前，一切都将很顺利。针对围绕在数学上的无穷概念周围的困难而提出的解决方案，很可能是我们自己这个时代引以为自豪的最伟大成就。从希腊思想的开端，这些困难就已被人认识到了；每一个时代具有最非凡才智的人，都在徒劳地尝试回答由爱利亚的芝诺所提出的那些显然回答不了的问题。最后，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）发现了问题的答案，并为智力征服了一片原已交给混乱及古老黑夜的新的巨大领域。假如从任意事物集合中拿走一些事物，那么剩余事物的数目一定总是少于原先的事物的数目；在康托尔和戴德金（Dedekind）确立相反的命题之前，这一点曾被假定为自明的。事实上，这个假定只对有限的集合有效；而且人们已经表明，在涉及无限的地方，若摈弃这个假定，就将清除在这个问题上迄今一直让人类理性感到困惑的所有困难，并使得创造一种精确的关于无限的科学成为可能。这一令人惊叹的事实应该在高级数学教学中引起一场革命；它已将自身不可估量地添加到了这门科目的教育价值中，并且最终为用逻辑的精确性处理许多课程提供了手段，而那些课程直到不久前还笼罩在谬误与晦暗之中。那些依据旧的思路接受教育的人认为，这项新的工作是极其费力的、难解的、模糊的，以至于让人觉得害怕。此外，我们必须承认，发现者自己常常也几乎没有从他的才智之光正在驱散的雾霭中现身。但本质上，对于所有坦诚而又爱探究的心灵来说，新的无限学说已经促进了对高等数学的掌控，这是因为，迄今为止，对于有些论证，我们虽在初次接触时就正确地判断它们是混乱和错误的，但一直都必须通过一个长期的复杂过程，去学习如何同意它们。既然如此，我们远未产生一种对理性的无畏的信念，即远不能勇敢地拒绝任何不能满足最严格的逻辑要求的东西；由于这一点，在过去的两个世纪中，数学训练助长了这样的信念，即对于许多东西，一种严格的探究会把它们作为谬误加以拒绝，但因为它们在数学家所谓的“实践”中起作用，所以仍然必须被接受。通过这种方法，一种胆小的妥协的精神，要不就是一种为俗人所无法理解的对神迹的神父式信念，已经在单独由理性主宰的地方得到了培育。现在是清除掉所有这一切的时候了；让我们立即把真实的理论教给那些希望洞察数学秘密的人，而且这种教学要在相关实际存在物的真正本质所确立的连结中进行，并完全只关心所涉及的理论的逻辑性质。
假如我们认为数学自身就是一种目标，而非是对工程师的一种技术训练，那么保持其推理的纯粹性与严格性就是非常可取的。因而，我们应该让那些已充分了解其相对容易的部分的人，从已作为自明之理而得到他们同意的命题，回到先前作为前提出现的东西可以从中演绎出来的一些越来越基本的原理。我们应该教导他们的是，许多命题对未经训练的心灵而言似乎是自明的，但在近距离的审查之下仍被表明是错误的；无限理论很容易阐明这一点。通过这种方法，他们将被引导着去对最先的原理作一种怀疑式的探究，即考察整个推理大厦建立于其上的基础，或者说考察————作一个也许更恰当的比喻————扩展的树枝由之长出的树干。在这个阶段，如果重新学习数学的基础部分，且不再只问一个特定的命题是否为真，也要问它是如何由中心逻辑原理演绎出来的，那将是合适的。现在我们能够准确并有把握地回答这种性质的问题了，而如果放在以前，这些问题完全不可能得到回答；并且，在这种回答所依赖的推理链条中，全部数学门类之间的那种统一性最终也将展现自身。
在绝大多数的数学课本中，完全缺少一种方法上的统一性以及对中心论题的一种系统的展开。不同种类的命题通过任意一种被认为最容易理解的方法而得到证明，而且大量的证明空间被给予了对主要论证不起一点作用的单纯求知欲。但在最伟大的作品中，统一性和必然性是在一出戏剧的展开中被人感觉到的；在前提中，一个主题被提出来供人思考，而且就对其性质的把握而言，在随后的每一个步骤中，我们都会取得某种明确的进步。对体系的爱，或者说，对相互联系的爱，也许是知识冲动的最秘密的本质；这种爱能够在数学中发现自由的空间，而在其他地方是发现不了的。感受到这种冲动的学习者不可因一连串无意义的例子而产生厌恶，也不可因一些令人开心的怪异之物而分心，但我们必须鼓励他们常常去思考中心原理，去熟悉放在他面前的各种不同主题的结构，去轻松完成更重要的演绎步骤。通过这种方式，一种好的心境就养成了，并且选择性注意力就习惯于先去思考重要和必要的东西。
当分门别类的数学课程中的每一门都被已看作一个逻辑上的整体以及一种从构成其原理的命题中自然生长出来的东西时，学习者将有能力理解统一整个演绎推理并使其成为一体的基本科学，即符号逻辑。这门学科虽由亚里士多德所开创，然而就其诸多更广泛的发展结果而言，它几乎完全是十九世纪的产物，而且在今天，它实际上还在极快速地成长着。符号逻辑中真实的发现方法，就在于着眼于发现所使用的原理，来分析演绎推理的实际例子；而且，这种分析很可能也是把这门学科介绍给熟悉数学中其他部分的学习者的最好方法。这些原理多半都深入到了我们的推理本能中，从而导致我们完全意识不到我们使用了它们，并且只能通过许多耐心的努力才能使它们暴露出来。但是，当它们最终被发现时，我们看到它们在数目上是很少的，而且是纯数学中一切东西的唯一来源。发现所有数学都不可避免地产生于一个由少量几条基本法则所构成的集合，无限提升了整体所具有的知识上的美；对于那些被当前绝大多数演绎链条的不连续性及不完全性所压制的人，这种发现是带着一种启示所具有的全部势不可挡的力量而到来的；就像随着旅行者沿意大利的一座小山腰向上攀登时而从秋雾中浮现的一座宫殿一样，数学大厦的那些宏伟楼层依其应有的顺序和比例出现了，并且该大厦的每一部分都体现着一种新的完美。
直到符号逻辑发展到其当前的阶段，数学所依赖的原理才总被设想为是哲学的，并且只有通过哲学家们迄今所使用的那些不确定的、保守的方法才能被发现。只要持有这样的看法，数学似乎就不是独立的，而是依赖于另一门学科；与数学自身的方法相比，这门学科拥有一些完全不同的方法。此外，由于算术、分析学及几何学将会由之演绎出来的那些假定的性质被笼罩在一切传统的形而上学讨论的晦暗之中，建立在这样的可疑的基础上的大厦实际上开始只被看作空中楼阁。就此而言，由于发现真实的原理就如其任何一种推论一样也是数学的一部分，我们已在很大程度上提升了将要获得的理智上的满足。那些不能分享此种满足的学习者不应该拒绝它，因为它会提升我们对人的力量及关于抽象世界的美的知识的尊重。
哲学家们通常认为，数学背后的逻辑法则就是思维法则，即调节我们头脑运行的法则。这种看法在很大程度上降低了理性的真正的尊贵；它不再是对所有实际的及可能的事物的真正核心和不变本质的研究，相反倒成了对某种或多或少与人相关并受制于我们自身的局限的事物的探究。思考与人无关的东西，发现我们的心灵有能力处理并非由其创造的物质，尤其是认识到美既为内在事物所拥有也为外在事物所拥有，是克服令人恐怖的无力感、脆弱感及身陷诸多不友好力量中间的被放逐感的主要手段，这些感觉极容易因承认几乎无所不能的异己力量而产生。通过展示其令人敬畏的美而让我们甘心于命运的统治，是悲剧的任务；而所谓命运，只是这些力量在文学作品中的拟人化表达。但是，数学把我们带到了离与人相关的东西更远的地方，并进入绝对必然性领域；对于这种领域，不仅实际的世界，而且每一种可能的世界，都要与其相一致。而且，它甚至在这个领域中建立了一个住所，或者说发现了一个永久存在的住所；我们的理想在这个住所中得到了充分的满足，而且我们最好的希望没有遇挫。仅当我们完全理解了我们自己的全部独立性时，我们才能充分认识到数学之美的根本重要性。
不仅数学独立于我们及我们的思想，而且在另外一种意义上，我们以及由全部现存事物所构成的整个宇宙则又独立于数学。假如我们要正确地理解作为艺术门类之一的数学的地位，对这种纯粹理想的特征的领会是必不可少的。人们先前设想，纯粹理性能在某些方面对实际世界的性质作出判定：至少，几何学曾被认为是处理我们居住于其中的空间的。但我们现在知道，纯数学完全不能对关于实际存在之物的问题发表意见：在某种意义上，理性世界控制事实世界，但绝不创造事实；而且在把结果应用于处在时间和空间中的世界时，其确定性与精确性就将消失在一些近似的东西及作业假说中。在过去，数学思考的对象主要是现象所让人想到的那一种；但是，抽象的想象应该完全摆脱这样的限制。因而，理性与事实之间一定有一种相互授予的自由：理性不能对事实世界发号施令，但是，当理性对美的爱使得一些对象似乎值得人们的思考时，事实亦不能限制理性处理任意一种这样的对象的特权。在这里，像在其他地方一样，我们将从所发现世界的碎片中逐步建立起我们自己的理想，而且到头来难说结果是一种创造，拟或是一种发现。
在教学中，一种非常可取的做法是，既让学生相信重要原理的准确性，又在所有可能的方式中以拥有最多的美的那一种做到这一点。像传统的阐述方式所表明的那样，对一种证明的真正兴趣并不完全集中在结果上；当这种情况确实发生时，必须把它看作一种缺陷，并且如果可能的话，要对这种缺陷进行纠正，而纠正的方式则在于对证明的步骤进行概括，并让每一个步骤就其自身而言且对其自身而言都变得重要。只用来证明一个结论的论证类似于一个以某种寓意为中心思想的故事，而此种寓意则是人们所要传授的东西：对于美的完善性而言，整体的任何部分都不应该仅仅是一种手段。某种讲究实际的精神，或者说，一种快速取得进步与征服新的领域的愿望，应对数学教学中盛行的那种过分强调结果的行为负责。比较恰当的方式是提出某个题目以供思考；这样的题目，在几何学中是一种拥有若干重要性质的图形，而在分析学中则是一种若加以研究就会给人以启发的函数，如此等等。每当证明仅仅依赖于我们用来定义所要研究的对象的某些标志时，这些标志应该被分离出来加以单独审查；这是因为，在论证中，使用比结论所需更多的前提是一种缺陷：仅仅使用论点由之得到证实的必要的原理，才会产生数学家们所谓的优美。欧几里得的一个优点就在于，他能尽量在不使用平行公理注24的情况下往前推进。这并非如通常所说的那样是因为这条公理本质上是会引起反对的，而是因为在数学中，每一条新的公理都会降低它所产生的定理的一般性，而最高的可能的一般性出现在一切被寻求的东西面前。
关于数学在其自身范围以外的影响，人们已写下了一些东西；这些东西比在数学自身的固有理想这一主题上的著述还要多。过去，数学对哲学的影响是最显著的，但又是最具多样性的；十七世纪的唯心论与唯理论，以及十八世纪的唯物论和感觉论，似乎都是这种影响的产物。关于数学在未来可能会产生的影响，如果说得很多，那就太性急了；但从一个方面看，似乎很可能出现一种好的结果。针对因道路是艰辛的且目标并非一定是可获得的而放弃理想之追求的那种怀疑论，数学在其自身的范围内就是一个完全的答复。人们老是说：没有绝对真理，而只有意见和私人判断；在观察世界时，我们每一个人都受到其自己的个性、偏好及偏见的制约；不存在我们最终可以通过坚忍和训练而被获准进入的外在真理王国，而只存在我的真理、你的真理以及每一个不同的人的真理。人类勉力尝试的主要目标之一就被这些习惯性想法否决了，而且真诚及对存在之物的无畏承认的至上美德，都从我们的道德视野中消失了。对于这样的怀疑论来说，数学是一种永久的责备，因为在面对怀疑的悲观情绪所拥有的一切武器时，其真理大厦依然是不可动摇且固若金汤的。
数学对实际生活的影响尽管不应被看作我们的研究动机，但可以用来答复孤独的学生必定始终容易产生的疑问。在一个如此充满罪恶与苦难的世界中，隐居于沉思的修道院并享受虽高贵却必定总是只为少数人所拥有的快乐，不能不等于多少有点自私地拒绝分担某种重担，即正义未能对其起作用的偶然因素所强加于他人身上的重担。我们问，我们任何人有权从当前的罪恶中抽身并让我们的同伴变得无助，而我们自己却过着一种虽艰难和简朴然而就其自身性质来说却显然令人满意的生活吗？当这些问题出现时，真实的答案无疑在于：一些人必须让神圣之火继续存在，或者说，每一代都必须有一些人去保护那萦绕心头且暗示着这么多的努力所指目标的幻想。但是，当这样的答案显得过分冷酷时（有时一定是这样的），当我们被无法对其提供帮助的悲伤场面折磨得几近发疯时，那么我们可以想到，比起在实践中更活跃的同时代人，数学家时常间接地为人类幸福做了更多的事情。科学史充分证明，大量的抽象命题，即使就像在关于二次曲线部分的情形中那样存在两千年却没有对日常生活产生影响，仍然可以在任何时刻被用来在每一个公民的习惯性思想和日常事务中引起一场革命。蒸汽和电————举一些突出的例子————的使用只是因为有了数学才成为可能。在抽象思维的结果中，世界拥有一种资本；迄今为止，为使这个共同的地球富裕起来而对这种资本所进行的使用并没有可发现的限度。经验也没有提供什么方法来判定数学中哪些部分将会被发现是有用的。因此，实用只能是灰心时刻的一种安慰，而非指导我们研究的一个准则。
对于道德生活的健康化，对于一个时代或一个民族的格调的高贵化，更严谨的美德拥有一种奇特的力量；此种力量超过未被思想渗透和净化过的那些美德的力量。在这些更严谨的美德中，对真理的爱是首要的；而且在数学中，这种爱比在其他地方更可以为变弱的信念找到鼓励。每一门重要的学科不仅自身就是一种目标，而且是创造并支撑一种高尚的心灵习性的手段。在整个数学的教与学中，我们都应该牢记这样的目的。